完全背包

完全背包

有n种重量和价值分别为wi，vi的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。

限制条件：1<=n<=100,1<=wi,vi<=100,1<=W<=10000。 

分析一下：dp[i+1][j]代表从前i种物品中挑选总重量不超过j时总价值的最大值。

递推关系为：dp[0][j]=0;

　　　　　　dp[i+1][j]=max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i] | 0<=k}

可以写出程序如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
using namespace std;
const int max_n=101;
int w[max_n+1];
int v[max_n+1];
int n,r,W;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cin>>W;
    int dp[n+1][W+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            for(int k=0;k*w[i]<=j;k++)
            {
                dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][W]<<endl;
    return 0;
}

关于k的循环最坏可能从0循环到W，所以这个算法的复杂度为O(nW*W)

可以做变形：max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i] | 0<=k}

　　　　　=max(dp[i][j],max{dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i] | 1<=k})

　　　　   =max(dp[i][j],max{dp[i][(j-w[i])-k*w[i]]+k*v[i] | 0<=k}+v[i])

　　　　   =max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])

所以递推关系式

　　　　　　　　dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])

我们和01背包的递推关系式比较一下

　　　　　　　　dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i])

复杂度降为O(nW)

程序如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
using namespace std;
const int max_n=101;
int w[max_n+1];
int v[max_n+1];
int n,r,W;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cin>>W;
    int dp[n+1][W+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=W;j++)
        {
            if(j>=w[i])
            {
                dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
            }
            else
            {
                dp[i+1][j]=dp[i][j];
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][W]<<endl;
    return 0;
}

也可以通过过重复利用一个数组来实现dp。这个比较不好理解一些。

看01背包的情况

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
using namespace std;
const int max_n=101;
int w[max_n+1];
int v[max_n+1];
int n,r,W;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cin>>W;
    int dp[W+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=W;j>=w[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[W]<<endl;
    return 0;
}

看完全背包的情况

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<memory.h>
using namespace std;
const int max_n=101;
int w[max_n+1];
int v[max_n+1];
int n,r,W;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    cin>>W;
    int dp[W+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=w[i];j<=W;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[W]<<endl;
    return 0;
}

两者的差异只有循环的方向