求和问题

主要是计算前n项和的公式。

前n项和的立方公式为   ： s(n)=（n*(n+1)/2）^2;

前n项和的平方公式为：s(n)=n*(n+1)(2*n+1)/6;

转自百度搜索：

公式证明　　迭代法：

 

　　　我们知道：

 

　　0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

 

　　1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

 

　　2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

 

　　取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

 

　　系数可由杨辉三角形来确定

 

　　那么就得出：

 

　　(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

 

　　N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

 

　　(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

 

　　...................

 

　　2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

 

　　.

 

　　于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

 

　　左边=(N+1)^4-1

 

　　右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

 

　　所以呢

 

　　把以上这已经证得的三个公式代入

 

　　4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

 

　　得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

 

　　移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

 

　　等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

 

　　即

 

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

 

　　大功告成！

 

　　立方和公式推导完毕

 

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2