线段树入门到自闭

算法介绍

线段树是一种二叉树，也就是对于一个线段，我们会用一个二叉树来表示。
可以进行一些区间的修改和查询。

算法详解

线段树通用的build方法

void build(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		sum1[k]=tree[l];//求和或者最值
		sum2[k]=tree[l]*tree[l];//平方和
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	pushup(k);//代表更新sum，这里可以是sum[k]=sum[(ls(k)]+sum[rs(k)]。
}

因为要进行区间的查询和修改,线段树还需要两个函数，check和update。check函数和update都用到了分治的思想。
简单的应用是区间修改+单点查询，区间查询+单点修改。
区间修改单点查询的思路是将区间标记，然后查询时从上到下加起来，直到叶子节点。区间查询+单点修改的思路是修改时直到叶子节点。单点的操作递归不会出现左右都有的情况，其余与区间操作类似。
下面的代码都是都是对区间进行操作的。

int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum[k];
	int mid=(l+r)>>1;
	int ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;
}

void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
	if(l>=x&&r<=y)
	{
		sum[k]+=v*(r-l+1);
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v); 
	pushup(k);
}

算法进阶

线段树可以进行复杂的区间修改和区间查询操作，主要要用到pushdown函数和懒标记。
懒标记是修改的因子，在对某个节点进行操作时，如果不需要对其儿子节点进行操作，就尽在这个节点进行懒标记，如果后边会对儿子节点进行修改查询操作，就要pushdown,向下传递懒标记。还有一些特殊的根号线段树和除法线段树。

例题

P1471 方差

题意

题目要求维护区间并求区间的方差，通过化简可以得知，求解方差只需要维护区间平方和与区间和即可。

代码

int const maxn=1000005;
double sum1[maxn*2],sum2[maxn*2],tree[maxn],lazy[maxn*2];
inline int read()
{
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
void pushup(int k)
{
	sum1[k]=sum1[ls(k)]+sum1[rs(k)];	
	sum2[k]=sum2[ls(k)]+sum2[rs(k)];	
}
void build(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		sum1[k]=tree[l];
		sum2[k]=tree[l]*tree[l];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	pushup(k);
}
void pushdown(int k,int l,int r)//pushdown的写法一般是线段树题目的核心
{
	int mid=(l+r)>>1;
	sum2[ls(k)]+=lazy[k]*lazy[k]*(mid-l+1)+2*lazy[k]*sum1[ls(k)];
	sum2[rs(k)]+=lazy[k]*lazy[k]*(r-mid)+2*lazy[k]*sum1[rs(k)];
	sum1[ls(k)]+=lazy[k]*(mid-l+1);
	sum1[rs(k)]+=lazy[k]*(r-mid);
	
	lazy[ls(k)]+=lazy[k];
	lazy[rs(k)]+=lazy[k];
	lazy[k]=0;
}
double check1(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum1[k];
	
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);//关键代码 
	
	int mid=(l+r)>>1;
	double ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check1(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check1(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;
}
double check2(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum2[k];
	
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);//关键代码 
	
	int mid=(l+r)>>1;
	double ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check2(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check2(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;
}
void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,double v)
{
	if(l>=x&&r<=y)
	{
		sum2[k]+=v*v*(r-l+1)+2*v*sum1[k];
		sum1[k]+=v*(r-l+1);
		lazy[k]+=v;
		return ;
	}
	
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);//关键代码 
	
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v); 
	pushup(k);
}
main(void)
{
	int n=read();
	int m=read();
	int x,y,cmd;
	double k;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf",&tree[i]);
	}
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{

		scanf("%d%d%d",&cmd,&x,&y);
		if(cmd==1)
		{
			scanf("%lf",&k);
			ADD(1,1,n,x,y,k);
		}
		if(cmd==2)
		{
			printf("%.4lf
",check1(1,1,n,x,y)/(y-x+1));
		}
		if(cmd==3)
		{
			double as,pfs;
			as=check1(1,1,n,x,y);
			pfs=check2(1,1,n,x,y);
			double l=y-x+1;
			double ans=pfs/l-(as/l)*(as/l);
			printf("%.4lf
",ans);
		}
	}
}

P3372 【模板】线段树 1

题意

简单的区间维护

代码

const int maxn=100005;
int sum[maxn*4],a[maxn],lazy[maxn*4];
void build(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		sum[k]=a[r];
		return;
	}
	int mid=(r+l)>>1;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
void pushdown(int k,int l,int r)
{
	int mid=(l+r)>>1;
	sum[ls(k)]+=(mid-l+1)*lazy[k];
	sum[rs(k)]+=(r-mid)*lazy[k];
	//将懒标记加到子树上； 
	lazy[ls(k)]+=lazy[k];
	lazy[rs(k)]+=lazy[k];
	lazy[k]=0;
}
void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int z)
{
	if(l>=x&&r<=y)
	{
		sum[k]+=(r-l+1)*z;
		//
		lazy[k]+=z;//更新时进行懒标记，表示这棵树的子树有未更新的标记 
		//
		return;
	}
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,z);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,z);
	//得到子树后加到父亲节点 
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)]; 
}
int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(l>=x&&r<=y)return sum[k];
	if(lazy[k])pushdown(k,l,r);
	int ans=0;
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ans+=check(ls(k),l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans;	
}
main(void)
{
	int n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
	build(1,1,n); 
	while(m--)
	{
		int cmd=read(),x=read(),y=read();
		if(cmd==1)
		{
			int k=read();
			ADD(1,1,n,x,y,k);
		}
		else
		{
			printf("%lld
",check(1,1,n,x,y)); 
		}
	} 
}

P3373 【模板】线段树2

题意

维护区间的乘积和加法，两个懒标记，一个为乘积因子，一个为加法因子

代码

const int maxn=200010;
int p,a[maxn],sum[4*maxn],mul[4*maxn],add[4*maxn];
inline void qm1(int k)
{
	
	sum[ls(k)]%=p;
	mul[ls(k)]%=p;
	add[ls(k)]%=p;
	
	sum[rs(k)]%=p;
	mul[rs(k)]%=p;
	add[rs(k)]%=p;
}
inline void build(int k,int l,int r)
{
	mul[k]=1;
	if(l==r)
	{
		sum[k]=a[l];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(ls(k),l,mid);
	build(rs(k),mid+1,r);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
inline void pushdown(int k,int l,int r)
{
	int mid=(l+r)/2;
	sum[ls(k)]*=mul[k];
	sum[rs(k)]*=mul[k];
	
	sum[ls(k)]+=add[k]*(mid-l+1);
	sum[rs(k)]+=add[k]*(r-mid);
	
	mul[ls(k)]*=mul[k];
	mul[rs(k)]*=mul[k];
	
	add[rs(k)]=add[rs(k)]*mul[k]+add[k];
	add[ls(k)]=add[ls(k)]*mul[k]+add[k];
	qm1(k);
	add[k]=0;
	mul[k]=1;
}
inline void ADD(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
	if(x<=l&&y>=r)
	{
		add[k]+=v;
		sum[k]+=v*(r-l+1);
		qm1(k);
		return ;
	}

	pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)ADD(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)ADD(rs(k),mid+1,r,x,y,v);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)]; 

}
inline void MUL(int k,int l,int r,int x,int y,int v)
{
	if(x<=l&&y>=r)
	{
		add[k]*=v;//规定的规则是先加后乘，想要表示先乘后加必须要把加法标记更新 
		mul[k]*=v;
		sum[k]*=v;
		qm1(k);
		return ;
	}
	pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	if(x<=mid)MUL(ls(k),l,mid,x,y,v);
	if(y>mid)MUL(rs(k),mid+1,r,x,y,v);
	sum[k]=sum[ls(k)]+sum[rs(k)];
}
inline int check(int k,int l,int r,int x,int y)
{
	if(x<=l&&y>=r)return sum[k];
	pushdown(k,l,r);
	int mid=(l+r)/2;
	int ans=0;
	if(x<=mid)ans+=check(ls(k),l,mid,x,y);

	if(y>mid)ans+=check(rs(k),mid+1,r,x,y);
	return ans%p; 
}
main(void)
{
	int n,m,cmd,x,y,k;
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
	_1for(i,n)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
	}
	build(1,1,n);
	_1for(j,m)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&cmd,&x,&y);
		if(cmd==1)
		{
			scanf("%lld",&k);
			MUL(1,1,n,x,y,k);
		}
		if(cmd==2)
		{
			scanf("%lld",&k);
			ADD(1,1,n,x,y,k);
		}
		if(cmd==3)
		{
			printf("%lld
",check(1,1,n,x,y)%p);
		}
	}
}