可积函数未必具有原函数
例如 Riemann 函数
[R(x)= left{ egin{array}{rl} 1, & x=0, \ 1/p, & x=p/q,(q>0,(p,q)=1), \ 0 ,& x ext{为无理数}. end{array} ight.]
若 $R(x)$ 有原函数 $F(x)$ ,即 $F'(x)=R(x) quad(aleqslant xleqslant b).$
根据 Darboux 定理，$R(x)$ 在 $[a,b]$ 应具有介值性，但从 $R(x)$ 定义可知它不具有介值性，故 $R(x)$ 没有原函数。
具有原函数的函数未必可积
例如 $$F(x)=left{egin{array}{cl} x^2sinfrac{1}{x^2},&x eq 0,\ 0,&x=0.end{array} ight.$$
则$$F'(x)=left{egin{array}{cl} 2xsinfrac{1}{x^2}-frac{2}{x}cosfrac{1}{x^2},&x eq 0,\ 0,&0.end{array} ight.$$
若记 $f(x)=F'(x)$ ，则 $f$ 在 $(-infty,+infty)$ 上具有原函数 $F$，但 $f$ 在 $(0,1)$ 上不可积，因为它在 $[0,1]$ 上无界.
可积函数未必具有原函数 例如 Riemann 函数 $$ R(x)= left{ egin{array}{rl} 1, & x=0, \ 1/p, & x=p/q,(q>0,(p,q)=1), \ 0 ,& x ext{为无理数}. end{array} ight. $$ 若 $R(x)$ 有原函数 $F(x)$ ,即 $F'(x)=R(x) quad(aleqslant xleqslant b).$ 根据 Darboux 定理，$R(x)$ 在 $[a,b]$ 应具有介值性，但从 $R(x)$ 定义可知它不具有介值性，故 $R(x)$ 没有原函数。 具有原函数的函数未必可积 例如 $$F(x)=left{egin{array}{cl} x^2sinfrac{1}{x^2},&x eq 0,\ 0,&x=0.end{array} ight.$$ 则$$F'(x)=left{egin{array}{cl} 2xsinfrac{1}{x^2}-frac{2}{x}cosfrac{1}{x^2},&x eq 0,\ 0,&0.end{array} ight.$$ 若记 $f(x)=F'(x)$ ，则 $f$ 在 $(-infty,+infty)$ 上具有原函数 $F$，但 $f$ 在 $(0,1)$ 上不可积，因为它在 $[0,1]$ 上无界.