卡特兰数习题集

可参考：https://blog.csdn.net/wentong_Xu/article/details/81428630

1、HDU1023 Train Problem II

出栈序列方案数：f(n)=h(n)

import java.util.Scanner;
import java.io.BufferedInputStream;
import java.math.BigInteger;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO 自动生成的方法存根
    BigInteger[] h=new BigInteger[101];
    h[0]=new BigInteger("1");
    h[1]=new BigInteger("1");
    int MAXN=100;
    for(int i=2;i<=MAXN;++i)
    {
        h[i]=h[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2));
        h[i]=h[i].divide(BigInteger.valueOf(i+1));
    }
    Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
    while(cin.hasNext())
    {
        int n=cin.nextInt();
        System.out.println(h[n]);
    }
    cin.close();
    }

}

2、洛谷P1722 矩阵 II

n个红算筹和n个黑算筹的摆放，前i个中红算筹的个数大于黑算筹的个数，f(2n)=h(n)，模100

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAXN=100+5;
const int MOD=100;
ll h[MAXN];
int main()
{
    h[0]=1,h[1]=1;
    /*for(int i=2;i<=MAXN;++i)
    h[i]=h[i-1]*(4*i-2)%MOD/(i+1);*/
    //上述递推式在这里行不通 
    for(int i=2;i<=MAXN;++i)
    {
        for(int j=0;j<i;++j)
        h[i]+=h[j]*h[i-j-1]%MOD;
        h[i]%=MOD;
    }
    int n;cin>>n;
    cout<<h[n]<<endl;
}

动态规划做法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAXN=100+5;
const int MOD=100;
ll dp[MAXN<<1][MAXN];//dp[i][j]表示前i个中有j个是红色 
int main()
{
    int n;cin>>n;
    n*=2;
    dp[1][1]=1;//第一个一定是红色
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=(i+1)>>1;j<=i;++j)
        dp[i][j]=(dp[i-1][j]%MOD+dp[i-1][j-1]%MOD)%MOD;//第i个放黑色或红色
    } 
    cout<<dp[n][n>>1];
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAXN=100+5;
const int MOD=100;
ll dp[MAXN<<1][MAXN<<1];//dp[i][j]表示前i个中红色比黑色多j个 
int main()
{
    int n;cin>>n;
    n*=2;
    dp[1][1]=1;//第一个一定是红色
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=0;j<=i;++j)
        {
            dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]%MOD;//第i个放红色
            dp[i][j]+=dp[i-1][j+1]%MOD;//第i个放黑色
            dp[i][j]%=MOD; 
        } 
    } 
    cout<<dp[n][0];
}

3、洛谷P1976 鸡蛋饼

圆上2n个点，用n条线段将这些点连起来，不能有线段相交。f(2n)=h(n)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAXN=3e3;
const int MOD=1e8+7;
ll h[MAXN]={1,1};
int main()
{
    int n;cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    for(int j=0;j<i;++j)
    h[i]=(h[j]*h[i-j-1]%MOD+h[i])%MOD;
    cout<<h[n]<<endl;
}

4、HDU2067 小兔的棋盘

棋盘上从（0，0）到（n，n）且不穿越对角线的路径数。

import java.util.Scanner;
import java.io.BufferedInputStream;
import java.math.BigInteger;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        // TODO 自动生成的方法存根
    BigInteger[] h=new BigInteger[36];
    h[0]=new BigInteger("1");
    h[1]=new BigInteger("1");
    int MAXN=35;
    for(int i=2;i<=MAXN;++i)
    {
        h[i]=h[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4*i-2));
        h[i]=h[i].divide(BigInteger.valueOf(i+1));
    }
    Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
    int n=cin.nextInt();
    int count=0;
    while(n!=-1)
    {
        
        System.out.print(++count+" "+n+" ");
        System.out.println(h[n].multiply(new BigInteger("2")));
        n=cin.nextInt();
    }
    cin.close();
    }

}

动态规划做法：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
import java.io.BufferedInputStream;
public class Main {
    static final int MAXN=40;
    static BigInteger dp[][] = new BigInteger[MAXN][MAXN]; //dp[i][j]表示(0,0)到(i,j)的方案数
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        for(int i=0;i<MAXN;++i)
            for(int j=0;j<MAXN;++j)
                dp[i][j]=BigInteger.ZERO;
        for(int i=0;i<MAXN;++i) dp[i][0]=BigInteger.ONE;
        for(int i=1;i<MAXN;++i)//计算右下角
        {
            for(int j=1;j<=i;++j)//不穿越对角线
            {
                if(j==i) dp[i][j]=dp[i][j-1];
                else dp[i][j]=dp[i-1][j].add(dp[i][j-1]);
            }
        }
        int n=cin.nextInt();
        int count=0;
        while(n!=-1)
        {
            System.out.print(++count+" "+n+" ");
            System.out.println(dp[n][n].multiply(new BigInteger("2")));
            n=cin.nextInt();
        }
        cin.close();
    }
}

5、HDU1133 Buy the Ticket

m个100，n个50，扩展的卡特兰

import java.util.Scanner;
import java.math.BigInteger;
import java.io.BufferedInputStream;

public class Main {
    static final int MAXN=200+5;
    static BigInteger[] fac = new BigInteger[MAXN];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin=new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        fac[0]=BigInteger.ONE;
        for(int i=1;i<MAXN;++i) fac[i]=fac[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(i));
        int m=cin.nextInt();
        int n=cin.nextInt();
        int count=1;
        while(m!=0||n!=0)
        {
            BigInteger ans=BigInteger.ONE;
            BigInteger fz=fac[m+n].multiply(BigInteger.valueOf(m+1-n));
            BigInteger fm=BigInteger.valueOf(m+1);
            if(m<n) ans=BigInteger.ZERO;
            else ans=fz.divide(fm);
            System.out.println("Test #"+count+":");
            System.out.println(ans);
            m=cin.nextInt();
            n=cin.nextInt();
            count++;
        }
        cin.close();
    }

}

6、洛谷 P3200 [HNOI2009]有趣的数列

2n个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种

用Java大数做后面5组数据MLE了，可能大数太大了，又要用数论，告辞！