【洛谷】P1169棋盘制作（悬线法）

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题目描述

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个8×8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。

而我们的主人公小Q，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。

小Q找到了一张由N×M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。

不过小Q还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。

于是小Q找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

输入输出格式

输入格式：

包含两个整数N和M，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的NN行包含一个N ×M的01矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（0表示白色，1表示黑色）。

输出格式：

包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 3
1 0 1
0 1 0
1 0 0

输出样例#1： 复制

4
6

说明

对于20%的数据，N, M ≤ 80N,M≤80

对于40%的数据，N, M ≤ 400N,M≤400

对于100%的数据，N, M ≤ 2000N,M≤2000

悬线法可在O(m*n)时间内求解满足条件的最大子矩阵，效率比一般的枚举法高得多。

详情可参考：

ACM算法：悬线法

浅谈用极大化思想解决最大子矩阵问题

合法的棋盘可看做是一条悬线（竖着的）左右平移得来的，因此只要求出悬线的高H，悬线能平移到最左的位置L，悬线能平移到最右的位置R，就能算出面积H*(L-R+1)，矩形棋盘在里面求最大值即可，正方形棋盘先求出边长s=min(L-R+1,H)，在s*s里面取最大值即可。

设H[i][j]为底部端点是(i,j)的悬线的高度，L[i][j]为底部端点是(i,j)的悬线能平移到最左的位置，R[i][j]为底部端点是(i,j)的悬线能平移到最右的位置。

（图片来源于https://blog.csdn.net/clover_hxy/article/details/50532289?locationNum=1&fps=1）

可知递推式为

R[i][j]=min(R[i][j],R[i-1][j])

L[i][j]=max(L[i][j],L[i-1][j])

AC代码：

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#define e 2.71828182
#define Pi 3.141592654
using namespace std;
int N,M,cb[2018][2018],H[2018][2018],L[2018][2018],R[2018][2018];
int main()
{
    cin>>N>>M;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=M;j++)
            cin>>cb[i][j];
    //这部分求的是以(i,j)为底部端点的悬线的长度
    for(int j=1;j<=M;j++) H[1][j]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
        for(int j=1;j<=M;j++)
            if(cb[i][j]^cb[i-1][j]) H[i][j]=H[i-1][j]+1;//cb[i][j]与cb[i-1][j]棋子一黑一白 
            else H[i][j]=1;
    //预处理，这部分求的是(i,j)能平移到最左的位置，并非是以(i,j)为底部端点的悬线能平移到最左的位置 
    for(int i=1;i<=N;i++) L[i][1]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=2;j<=M;j++)
            if(cb[i][j]^cb[i][j-1]) L[i][j]=L[i][j-1];//cb[i][j]与cb[i][j-1]棋子一黑一白
            else L[i][j]=j;
    //预处理，这部分求的是(i,j)能平移到最右的位置，并非是以(i,j)为底部端点的悬线能平移到最右的位置 
    for(int i=1;i<=N;i++) R[i][M]=M;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        for(int j=M-1;j>=1;j--)
            if(cb[i][j]^cb[i][j+1]) R[i][j]=R[i][j+1];//cb[i][j]与cb[i][j+1]棋子一黑一白
            else R[i][j]=j;
            
    int ans1=0,ans2=0;//最大正方形棋盘，最大矩形棋盘 
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        for(int j=1;j<=M;j++)
        {
            if(i>1&&(cb[i][j]^cb[i-1][j]))//递推 
                R[i][j]=min(R[i][j],R[i-1][j]),L[i][j]=max(L[i][j],L[i-1][j]);
            int l=R[i][j]-L[i][j]+1;
            int w=min(l,H[i][j]);//正方形的边长取l和H的较小值 
            ans1=max(ans1,w*w);
            ans2=max(ans2,l*H[i][j]);
        }
    }
    
    cout<<ans1<<endl<<ans2;
}