【洛谷】2474：[SCOI2008]天平【差分约束系统】

P2474 [SCOI2008]天平

题目背景

2008四川NOI省选

题目描述

你有n个砝码，均为1克，2克或者3克。你并不清楚每个砝码的重量，但你知道其中一些砝码重量的大小关系。你把其中两个砝码A 和B 放在天平的左边，需要另外选出两个砝码放在天平的右边。问：有多少种选法使得天平的左边重(c1)、一样重(c2)、右边重(c3)？（只有结果保证惟一的选法才统计在内）

输入输出格式

输入格式：

 

第一行包含三个正整数n，A，B（1<=A，B<=N，A 和B 不相等）。砝码编号

为1~N。以下n行包含重量关系矩阵，其中第i行第j个字符为加号“+”表示砝

码i比砝码j重，减号“-”表示砝码i比砝码j 轻，等号“=”表示砝码i和砝码

j一样重，问号“?”表示二者的关系未知。存在一种情况符合该矩阵。

 

输出格式：

 

仅一行，包含三个整数，即c1，c2和c3。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

6 2 5
?+????
-?+???
?-????
????+?
???-?+
????-?

输出样例#1： 复制

1 4 1

输入样例#2： 复制

14 8 4
?+???++?????++
-??=?=???????=
??????????=???
?=??+?==??????
???-???-???-??
-=????????????
-??=???=?-+???
???=+?=???????
??????????????
??????+???????
??=???-????-??
????+?????+???
-?????????????
-=????????????

输出样例#2： 复制

18 12 11

说明

4<=n<=50

---

Solution

题目要求的实际上是满足$A+B>i+j,A+B=i+j,A+B<i+j$的所有$i,j$组合有多少组。

比如第一个式子，可以转换为$A-i>j-B$

看上去很差分约束啊！

所以我们可以用$floyed$处理出任意两点$i-j$的最大值和最小值，初始化赋值显然。

然后枚举所有的$i,j$组合，判断是否满足不等式即可。注意满足的条件是最小值大于最大值等等。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[66];
int dx[55][55], dn[55][55], n, A, B;
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &A, &B);
    memset(dx, 0x3f3f3f3f, sizeof(dx));
    memset(dn, -0x3f3f3f3f, sizeof(dn));
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%s", s + 1);
        for(int j = 1; j <= strlen(s + 1); j ++) {
            if(s[j] == '=' || i == j) {
                dn[i][j] = dx[i][j] = 0;
            } else if(s[j] == '+') {
                dn[i][j] = 1; dx[i][j] = 2;
            } else if(s[j] == '-') {
                dn[i][j] = -2; dx[i][j] = -1;
            } else {
                dn[i][j] = -2; dx[i][j] = 2;
            }
        }
    }
    
    for(int k = 1; k <= n; k ++)
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
            for(int j = 1; j <= n; j ++) {
                dx[i][j] = min(dx[i][j], dx[i][k] + dx[k][j]);
                dn[i][j] = max(dn[i][j], dn[i][k] + dn[k][j]);
            }
    int c1 = 0, c2 = 0, c3 = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        if(i == A || i == B)    continue;
        for(int j = 1; j < i; j ++) {
            if(j == A || j == B)    continue;
            if(dn[A][i] > dx[j][B] || dn[B][i] > dx[j][A])
                c1 ++;
            if(dn[i][A] > dx[B][j] || dn[i][B] > dx[A][j])
                c3 ++;
            if((dn[A][i] == dx[A][i] && dn[j][B] == dx[j][B] && dn[A][i] == dn[j][B])
                 || (dn[B][i] == dx[B][i] && dn[j][A] == dx[j][A] && dn[B][i] == dn[j][A]))
                c2 ++;
        }
    }
    printf("%d %d %d", c1, c2, c3);
    return 0;
}