关于满减优惠券叠加的背包算法

昨天同事遇到一个优惠券使用的问题，用下班时间和早上研究了下，和动态规划的背包问题有关，但又不同于背包，感觉比较有意思就在这里做个记录，在群里讨论和梳理成文字也使自己更清晰的了解自己知道什么。

问题描述

问题的精简描述为：购买商品时，有多张满减优惠券可用（可叠加使用），求最优策略（减免最多）。 准确描述为：

设共有n张优惠券C: [(V1, D1), (V2, D2), (V3, D3), ..., (Vn, Dn)]，其中Vn为面值，Dn为减免值（对于一张优惠券Cx，满Vx减Dx），优惠券为单张，可叠加使用（使用过一张后，如果满足面值还可以使用其他优惠券）。求商品价值为M时，使用优惠券的最优策略：1.减免值最多，2.优惠券剩余最优（比如对于 C1 (2, 0.1) 、C2 (1, 0.1) 只能选择一张的最优取舍就是用C1留C2 ）。

输入：

​ C = [(2, 1.9), (1, 1), (1, 0.1), (2, 0.1)] , M = 3

期望输出：

​ 使用优惠券：[(2, 0.1), (2,1.9), (1,1)]

​ 总减免：3

看到其他人推荐背包，由于没用过背包算法，通过 动态算法规划算法背包问题 学习了下背包的思想。顺便了解一下动态规划能解决什么问题：

适用动态规划方法求解的最优化问题应该具备的两个要素：最优子结构和子问题重叠。——《算法导论》动态规划原理

优惠券问题看起来和背包问题很像，但是有一点不同

一点不同

图1 背包问题和优惠券问题的不同

图中，背包问题里面的数据为：在负重已知的前提下能装物品的最优总价值；优惠券问题里面的数据为总金额能使用优惠券的最优总减免值。

对于背包问题，如果负重为4，策略只能是拿2号物品，因为拿取2号之后负重还剩（4-3=1），再拿不了1号物品了（最终价值为1.5）；对于优惠券问题，如果金额为4，使用完2号优惠券之后，金额还剩（4-1.5=2.5），还可以再用1号优惠券的（最终减免值为2.5）。

总结这个不同就是：背包判断大于重量W，再减去W，得到剩余值再去上一层找最优解（统计价值）；优惠券则是需要判断大于面额V，再减去减免值D，剩余值再去上一层找最优解（统计减免值D）。

而且因为这个不同，优惠券问题的数据对优惠券顺序是有要求的，不像背包问题中，总是负重减物品重量，剩余的重量直接去找上次最优再计算就好了。顺序问题分两种：

两种顺序

一、对于优惠券，不同面额的顺序

图2 优惠券面额顺序对结果的影响

图中，将物品和券的顺序颠倒，对于背包问题，最后一行数据完全相同，对结果无影响；对于优惠券问题，顺序变了结果会不一样。（因为需要满足优惠券(v,d), 中的v才能减去第二项，所以对顺序有要求）。所以，不同面额 (V不同) 的优惠券，应该升序排列。

二、面额相同，减免值不同

图3 优惠券面额相同，不同减免值的顺序对结果的影响

因为背包思想是通过上一次的结果来铺垫下一次的值，所以从上往下需要先生成同额度的最优值。所以，同面额不同减免值 (V同D不同) 的优惠券，应该降序排列。

排序示例为：

[
    (2, 1.9), 
    (1, 1), 
    (1, 0.1), 
    (2, 0.1)
]

需排列为

[
    (1, 1),
    (1, 0.1),
    (2, 1.9),
    (2, 0.1),
]

综以上 一点不同两种顺序 的情况所述，使用背包之前需要排序（V升D降），按V升序，如果V相同，再按D降序排。再使用背包算法（大于V减去D）。

还没有优化的程序

本来想说一句，思路有了，程序都不重要。但是，在写的过程中，这个排序思路（V升D降），是试出来的，而不是先想好的。所以动手还是很重要的，不然我的脑子还想不长远。

用的多维数组，可以优化的点有：用一维数组存储；间隔优化（如果优惠券有分，span为100，那数组就很大了）。Python 版程序：

# coding:utf-8
# 背包算法，解决满减优惠券叠加使用问题

def coupon_bags(coupon, amount):
    """
        优惠券背包算法
        param: coupon 优惠券数组
        param: amount 金额
    """
    # 转换金额跨度（间隔）： 元->角 
    span = 10
    amount = int(amount*span) 

    for i, v in enumerate(coupon):
        for j in range(len(v)):
            coupon[i][j] = int(coupon[i][j]*span)

    # 初始化结果数组，dps 存储满减值（背包算法结果） ，dps_coupons 存储优惠券
    dps = []
    dps_coupons = []  
    for i in range(len(coupon)+1):
        dps.append(list((0,)*(amount+1)))
        # list 直接 * 生成的是同一list，用循环生成
        dps_coupons.append([])
        for j in range(amount+1):
            dps_coupons[i].append([])

    for i in range(1, len(coupon)+1):
        for j in range(1, amount+1):
            if j < coupon[i-1][0]:
                # 获取上个策略值
                dps[i][j] = dps[i-1][j]
                dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j]
            else:
                if(dps[i-1][j] > dps[i-1][j-coupon[i-1][1]]+coupon[i-1][1]):
                    # 上一行同列数据 优于 当前优惠券+剩余的金额对应的上次数据，取之前数据
                    dps[i][j] = dps[i-1][j]
                    dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j]
                else:
                    # 选取当前+剩余 优于 上一行数据
                    dps[i][j] = dps[i-1][j-coupon[i-1][1]]+coupon[i-1][1]
                    dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j-coupon[i-1][1]].copy()
                    dps_coupons[i][j].insert(0, tuple(coupon[i-1]))
                    # print(f"{i} {j}, {tuple(coupon[i-1])} dps {i-1} {j-coupon[i-1][1]}:{dps_coupons[i-1][j-coupon[i-1][1]]} ")

    print('----------------------------------------------------')
    # 结果需返回数据原单位（元）
    result_coupons = dps_coupons[-1][-1].copy()
    for i, v in enumerate(result_coupons):
        result_coupons[i] = list(result_coupons[i])
        for j in range(len(v)):
            result_coupons[i][j] = result_coupons[i][j]/span
    print(f"使用优惠券：{result_coupons} 总减免：{dps[-1][-1]/span}")


# 优惠券
coupon_items = [
    [1, 1],
    [1, 0.1],
    [2, 1.9],
    [2, 0.1],
]
# 举例中的优惠券是最终顺序。确保优惠券已经排序过，多维升序(V升D降)，此处省略
# sorted_coupon(coupon)
coupon_bags(coupon_items, 3)
"""
coupon_items = [
    [1, 0.6],
    [2, 0.7],
    [2, 1.3],
    [3, 2.3],
]
coupon_bags(coupon_items, 5)
"""

输出：使用优惠券：[[2.0, 0.1], [2.0, 1.9], [1.0, 1.0]] 总减免：3.0

还写了PHP版本的，一并发上来吧。

<?php

/**
 * 背包算法，解决优惠券问题
 * @param array $coupon 优惠券数组
 * @param float $amount 金额
 */
function coupon_bags($coupon, $amount)
{

    # 转换金额单位（跨度）：角
    $span = 10;
    $amount = intval($amount * $span);

    foreach ($coupon as $i => $v) {
        for ($j = 0; $j < count($v); $j++) {
            $coupon[$i][$j] = intval($coupon[$i][$j] * $span);
        }
    }

    # 结果，多数组
    $dps = [];
    $dps_coupons = [];
    for ($i = 0; $i <= count($coupon); $i++) {
        for ($j = 0; $j <= $amount; $j++) {
            $dps[$i][$j] = 0;
            $dps_coupons[$i][$j] = [];
        }
    }

    # 排序，多维升序(内降)
    # sort_coupon($coupon);

    for ($i = 1; $i <= count($coupon); $i++) {
        for ($j = 1; $j <= $amount; $j++) {
            if ($j < $coupon[$i - 1][0]) {
                # 获取上个策略值
                $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j];
                $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j];
            } else {
                if ($dps[$i - 1][$j] > $dps[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]] + $coupon[$i - 1][1]) {
                    # 上一行同列数据 优于 当前优惠券+剩余的金额对应的上次数据，取之前数据
                    $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j];
                    $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j];
                } else {
                    # 选取当前+剩余 优于 上一行数据
                    $dps[$i][$j] = $dps[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]] + $coupon[$i - 1][1];
                    $dps_coupons[$i][$j] = $dps_coupons[$i - 1][$j - $coupon[$i - 1][1]];
                    $dps_coupons[$i][$j][] = $coupon[$i - 1];
                }
            }

        }

    }
    # 结果需返回数据原单位（元）
    $t = end($dps_coupons);
    $t2 = end($dps);
    $result_coupons = array_reverse(end($t));
    $result_dps = end($t2);

    foreach($result_coupons as &$v){
        foreach($v as &$v2){
            $v2 = $v2/$span;
        }
    }
    $result_dps/=$span;

    echo "
使用优惠券：". print_r($result_coupons, true). "总减免：{$result_dps}.";

}

$coupon_items = [
    [1, 1],
    [1, 0.1],
    [2, 1.9],
    [2, 0.1],
];
coupon_bags($coupon_items, 3);

Java 版的代码：（粗糙）

import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

class CouponTicket{
    List<int[]> cp = new LinkedList<int[]>();

    public CouponTicket copy(){
        CouponTicket r = new CouponTicket();
        for(int[] c : cp){
            r.cp.add(c);
        }
        return r;
    }

    public String toString(){
        StringBuilder s = new StringBuilder();
        for(int[] c: cp){
            s.append(Arrays.toString(c)).append(" - ");
        }
        return s.toString();
    }
}

/**
 * 背包算法，解决满减优惠券叠加使用问题
 * 
 */
public class Coupon{
    public static void main(String[] args){
        double [][]coupon_items = {
            {1, 1},
            {1, 0.1},
            {2, 1.9},
            {2, 0.1},
        };
        Coupon.couponBags(coupon_items, 3);
    }

    public static void couponBags(double[][] coupon, double amount){
        // 转换成int的金额精度
        int span = 10;
        int amountInt = (int)(amount*span);

        int couponInt[][] = new int[coupon.length][2];

        // 初始化结果数组，dps 存储满减值（背包算法结果） ，dps_coupons 存储优惠券
        int[][] dps = new int[coupon.length+1][amountInt+1];
        CouponTicket[][] dps_coupons = new CouponTicket[coupon.length+1][amountInt+1];
        for(int i=0; i<coupon.length; i++){
            for(int j=0; j<coupon[i].length; j++){
                couponInt[i][j] = (int)(coupon[i][j]*span);
            }
        }

        // 计算
        for(int i=1; i<=coupon.length; i++){
            for(int j=1; j<=amountInt; j++){
                // System.out.printf("%d %d coupon[%d][0]=%s %b " ,i,j,i-1,couponInt[i-1][0], (j<couponInt[i-1][0]));
                if(j < couponInt[i-1][0]){
                    // 获取上个策略值
                    dps[i][j] = dps[i-1][j];
                    dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j];
                }else{
                    if(dps[i-1][j] > dps[i-1][j-couponInt[i-1][1]]+couponInt[i-1][1]){
                        // 上一行同列数据 优于 当前优惠券+剩余的金额对应的上次数据，取之前数据
                        dps[i][j] = dps[i-1][j];
                        dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j];
                    }
                    else{
                        if(dps_coupons[i][j] == null){
                            dps_coupons[i][j] = new CouponTicket();
                        }

                        // 选取当前+剩余 优于 上一行数据
                        dps[i][j] = dps[i-1][j-couponInt[i-1][1]]+couponInt[i-1][1];

                        if(dps_coupons[i-1][j-couponInt[i-1][1]] != null){
                            dps_coupons[i][j] = dps_coupons[i-1][j-couponInt[i-1][1]].copy();
                        }
                        dps_coupons[i][j].cp.add(couponInt[i-1]);
                        // System.out.printf("%s dps %d %s", Arrays.toString(couponInt[i-1]), j-couponInt[i-1][1],dps_coupons[i-1][j-couponInt[i-1][1]]);
                    }
                }
                // System.out.println();
            }
        }

        System.out.println("优惠券使用和总满减金额如下：(优惠券未转换原金额)"); 

        System.out.println(dps_coupons[coupon.length][amountInt]);
        System.out.println(dps[coupon.length][amountInt]/(double)span); 
    }
}

总结

算法思想很重要。多思考多动手多交流。如果发现了漏洞，请您不吝赐教。