快速幂合集

1.普通快速幂

快速幂模板：

int Quick_pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

矩阵快速幂模板

matrix Quick_pow(matrix a,long long k)
{
    matrix ans;
    ans.init();
    while(k)
    {
        if(k&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

2.快速幂+求模

快速幂求模模板：

int Quick_pow(int a,int b,int c)//a-底数,b-指数，c-mod，
{
　　int ans=1; a=a%c;//先将a化为a的mod的范围内
　　while(b){
　　if(b&1) ans=1ll*ans*a%c;
　　a=1ll*a*a%c;//a的模乘以b的模的mo等于a乘积的模
　　b>>=1;//(a*b)%c=(a%c)*(b%c)%c
　　}
　　return ans;
}

POJ1995：Raising Modulo Numbers

板题快速幂求模地址

#include<cstdio>
int Quick_pow(int a,int b,int c)
{
    int ans=1;
    a=a%c;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t,h,c;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
            int sum=0,a,b;
        scanf("%d",&c);
        scanf("%d",&h);
        for(int i=0;i<h;++i)
        {
            scanf("%d %d",&a,&b);
            sum=(sum+Quick_pow(a,b,c))%c;
        }
        printf("%d
",sum);
    }
    return 0;
}

3.矩阵快速幂

a.矩阵快速幂板题

POJ3070：Fibonacci

链接

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int maxn=2;//阶数
//const int mod=1000000007;
const int mod=10000;
int n;
struct matrix{
    int a[100][100];
    void init()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<maxn;++i) a[i][i]=1;
    }
};

matrix mul(matrix x,matrix y)
{
    matrix c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    for(int i=0;i<maxn;++i){
        for(int j=0;j<maxn;++j){
            for(int k=0;k<maxn;++k){
                    c.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
                    c.a[i][j]%=mod;
//                c.a[i][j]=c.a[i][j]%mod+x.a[i][k]*y.a[k][j]%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix Quick_pow(matrix a,int k)
{
    matrix ans;
    ans.init();
    while(k)
    {
        if(k&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    matrix a;
    a.a[0][0]=1,a.a[0][1]=1,a.a[1][0]=1,a.a[1][1]=0;
    while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1)
    {
        matrix ans=Quick_pow(a,n);
        printf("%d
",ans.a[0][1]);
    }
    return 0;
}

b.板题的增强

斐波那契数列的前n项平方和:F[N]=F[N]*F[N+1]

取模运算的讲解：

牛客小白月赛20：

斐波那契数列前n项平方和

#include<cstdio>
#include<cstring>
const long long maxn=2;//阶数
const long long mod=1000000007;
struct matrix{
    long long a[2][2];
    void init()//结构体内的结构体成员数组的初始化函数
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<maxn;++i) a[i][i]=1;
    }
};

matrix mul(matrix x,matrix y)
{
    matrix c;
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));//结构体成员数组的清0
    for(long long i=0;i<maxn;++i){//maxn为全局变量的阶数
        for(long long j=0;j<maxn;++j){
            for(long long k=0;k<maxn;++k){
//                    c.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
//                    c.a[i][j]%=mod;
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;//更高效的运算大数求模
            }
        }
    }
    return c;
}
matrix Quick_pow(matrix a,long long k)//结构体函数返回结构体
{
    matrix ans;
    ans.init();
    while(k)//矩阵快速幂
    {
        if(k&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}


int main()
{
    long long n;
    matrix a;
    a.a[0][0]=1,a.a[0][1]=1,a.a[1][0]=1,a.a[1][1]=0;
    scanf("%lld",&n);
    matrix ans1=Quick_pow(a,n);
    long long result1=ans1.a[0][1];//为什么取的是a[0][1]下面图片有讲解自行体会
    matrix ans2=Quick_pow(a,n+1);
    long long result2=ans2.a[0][1];
    printf("%lld
",result1*result2%mod);//乘积后可能再次大于模所以再一次求模
    return 0;
}

4.斐波那契的矩阵快速幂算法