[洛谷P1507]NASA的食物计划 以及 对背包问题的整理

P1507 NASA的食物计划

题面

每个物品有三个属性，“所含卡路里”：价值(v)，“体积”：限制1(m_1)，以及“质量”：限制2(m_2)，在n件物品中选择一部分，使得所选物品价值(v)之和最大。
同时要求这些物品的限制1(m_1)之和不超过限制1上限(c_1)，限制2(m_2)之和不超过限制2上限(c_2)。

格式

输入包括n+2行。
第一行包括两个整数(c_1,c_2(c_1,c_2<400))
第二行包括一个整数(n(n<50))
下面n行，每行包括三个整数(m_1,m_2,v(m_1,m_2<400,v<500))

输出满足条件的最大的(v)之和

分析

看题目能大体猜到是一道背包题。但是与背包不一样的是，限制有两个。
类比普通背包问题中一般设(dp[i])表示限制为(i)时的最优解，那么我们这里可以设(dp[i][j])表示限制分别为(i)和(j)时的最优解。
下面考虑转移方程式。由于选择一个物品会将两个限制都减少，所以可以得到转移式为(dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-m1[k]][j-m2[k]]+v[k]))其中k表示考虑第k个物品。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c1,c2,n;
int m1,m2,v;
int f[402][402];
int main(){
	cin>>c1>>c2>>n;
	for(int k=1;k<=n;k++){
		cin>>m1>>m2>>v;
		for(int i=c1;i>=m1;i--)
			for(int j=c2;j>=m2;j--){
				f[i][j]=max(f[i][j],f[i-m1][j-m2]+v);
			}
	}
	cout<<f[c1][c2];
}

后记

到这里，题已经做出来了。通过这两天刷的这些题，大家应该找到了背包问题的通解。在这里总结一下。

1. 01背包 一个物品只能选一次 (dp[i]=max(dp[i],dp[i-m[k]]+v[k]) i=c...m[k] O(nc))
2. 完全背包 一个物品可以选无限次 (dp[i]=max(dp[i],dp[i-m[k]]+v[k]) i=m[k]...c O(nc))
3. 多维背包 有多个限制 (dp[i1]...[in]=max(dp[i1]...[in],dp[i1-m1[k]]...[in-mn[k]]+v[k]) O(nc1...cn))
4. 多重背包 一个物品只能选有限次 可以把一个物品分解为多个同样属性的物品，然后用01背包求解(O(sum times[i] *c))（再难一点的做法是二进制优化(O(sum log_2times[i] *c))，甚至单调队列(O(nc))）
5. 超大背包 限制特别大，但是每个物品价值较低 (dp[i]=min(dp[i],dp[i-v[k]]+m[k]))其中(dp[i])表示达到价值i时的最小质量