poj1061青蛙的约会解题报告

由题意可知：y+nt-(x+mt)=dL ————> y-x=dL+(m-n)t

则此方程可用扩展欧几里得算法求解

因为ax+by=d的答案不唯一，当x增加b，y减少a，和不变。

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转帖一个关于扩展欧几里得算法的讲解

扩展欧几里得算法------求解线性方程ax+by=c

1.应用：
      线性方程ax+by=c ,已知a,b,c，求解x,y.

2.基本思路：
    
      ax+by=c有解 => c=k*gcd(a,b)=kd（因为d=gcd(a,b)=>d|(ax+by))
      
      我们先考虑求解  ax+by=d
        由欧几里得算法,d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b])y'    
        则由上述两式子，我们可以得出 x=y' ,y=x'-[a/b]y'
        这样子，在欧几里得算法添加x,y变量，最后得到解。（可结合下面代码源代码进行理解）

      接下来我们来看看ax'+by'=d和ax+by=c之间的关系
      
        （c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d 即 可以得到 x=(c/d)x',y=(c/d)y'
         
         所以可以得到ax+by的一组解
         那么ax+by=c所有解的形式是什么呢？
             a(x+qb)+b(y-qa)=c; q为任意整数
(注意，当要求y-qa的最小正整数min时,由y-qa>=0， q取[y/a]最小，min=y-[y/a]y,但是,[y/a]可能为0，如果y是负数，min此时也为负数，不好，此时令min+=a就可以取得最小正整数值了（[y/a]=0所以|y|<a),这段可以自己找个例子好好理解下啊）

3.源代码模板

int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
{
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
    return d;
}
//用扩展欧几里得算法解线性方程ax+by=c;
bool linearEquation(int a,int b,int c,int& x,int &y)
{
    int d=Extended_Euclid(a,b,x,y);
    if(c%d) return false;

    int k=c/d;
    x*=k;y*=k;//求的只是其中一个解
    return true;
}

注意，其中扩展欧几里得算法的返回值还是gcd，

/************************/

AC代码如下：

 1 #include <stdio.h>
 2 long long  mod(long long a,long long  b)
 3 {
 4     return (a%b+b)%b;
 5 }
 6 long long exten_gcd(long a,long b,long long *x,long long *y)
 7 {
 8     long long r,t;
 9     if (b==0)     
10     {
11         r=a;*x=1;*y=0;
12     }
13     else 
14     {
15         r=exten_gcd(b,mod(a,b),x,y);
16         t=*x;*x=*y;*y=t-(a/b)**y;
17     }
18     return r;
19 }
20 main()
21 {
22     long x,y,m,n,l;
23     long long rx,ry,t,d;
24     scanf("%d%d%d%d%d",&x,&y,&m,&n,&l);    
25     d=exten_gcd(m-n,l,&rx,&ry);
26     if (mod(y-x,d)) printf("Impossible\n");
27     else
28     {
29         rx*=(y-x)/d;
30         printf("%lld\n",mod(rx,l));
31     }
32     return 0;
33 }
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