wenbao与高斯消元

消元 

高斯消元

typedef double Matrix[maxn][maxn];
void gauss_elimination(Matrix A, int n){
    int i, j, k, r;
    //消元过程
    for(i = 0; i < n; ++i){
        //选一行r并与i行交换
        r = i;
        for(j = i+1; j < n; ++j){
            if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i])) r = j;
        }
        if(r != i){
            for(j = 0; j <= n; ++j) swap(A[r][j], A[i][j]);
        }
        //与i+1~n行进行消元
        for(k = i+1; k < n; ++k){
            for(j = n; j >= i; --j){ //必须逆序枚举
                A[k][j] -= A[k][i]/A[i][i]*A[i][j];
            }
        }
    }
    //回代过程
    for(i = n-1; i >= 0; --i){
        for(j = i+1; j < n; ++j){
            A[i][n] -= A[j][n] * A[i][j];
        }
        A[i][n] /= A[i][i];
    }
}

高斯——约当消元法

　　运算量比高斯消元略大（将系数矩阵化为对角矩阵），但是代码更简单（少了回调过程）

typedef double Matrix[maxn][maxn];
const double eps = 1e-8;
void gauss_jordan(Matrix A, int n){
    int i, j, k, r;
    for(i = 0; i < n; i++){
        r = i;
        for(j = i+1; j < n; j++){
            if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i])) r = j;
        }
        if(fabs(A[r][i]) < eps) continue;
        if(r != i){
            for(j = 0; j <= n; j++){
                swap(A[r][j], A[i][j]);
            }
        }
        for(k = 0; k < n; k++) if(k != i){
            for(j = n; j >= i; j--){
                A[k][j] -= A[k][i]/A[i][i] * A[i][j];
            }
        }
    }
}

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https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&category=20&problem=1769&mosmsg=Submission+received+with+ID+18927455

随机程序

求每个节点的期望执行次数

设　i　的出度为　di　期望执行次数为　xi　对于每个有三个前驱点　a　b　c　的节点　i　可以列出方程　xi　=　xa/da　+　xb/db　+　xc/dc　.

所以矩阵就可以构建出来

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

const double eps = 1e-8;
const int maxn = 110;
typedef double Ma[maxn][maxn];

Ma A;
int n, d[maxn];
vector<int> p[maxn];
int inf[maxn];


void gass(Ma A, int n){
    int i, j, k, r;
    for(i = 0; i < n; ++i){
        r = i;
        for(j = i+1; j < n; ++j){
            if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i])) r = j;
        }        
        if(fabs(A[r][i]) < eps) continue;
        if(r != i){
            for(j = 0; j <= n; ++j) swap(A[r][j], A[i][j]);
        }
        for(k = 0; k < n; ++k) if(k != i){
            for(j = n; j >= i; j--) A[k][j] -= A[k][i] / A[i][i] * A[i][j];
        }
    }
}


int main(){
    int kase = 0;
    while(scanf("%d", &n) == 1 && n){
        memset(d, 0, sizeof(d));
        for(int i = 0; i < n; ++i) p[i].clear();
        int a, b;
        while(scanf("%d%d", &a, &b) == 2 && a){
            a--, b--;
            d[a]++;
            p[b].push_back(a);
        }
        memset(A, 0, sizeof(A));
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            A[i][i] = 1;
            for(int j = 0; j < p[i].size(); j++){
                int xx = p[i][j];
                A[i][xx] -= 1.0 / d[xx];
            }
            if(i == 0) A[i][n] = 1;
        }
        gass(A, n);
        memset(inf, 0, sizeof(inf));
        for(int i = n-1; i >= 0; --i){
            if(fabs(A[i][i]) < eps && fabs(A[i][n]) > eps) inf[i] = 1;
            for(int j = i+1; j < n; j++){
                if(fabs(A[i][j]) > eps && inf[j]) inf[i] = 1;
            }
        }
        
        int q, u;
        scanf("%d", &q);
        printf("Case #%d:
", ++kase);
        while(q--){
            scanf("%d", &u);
            u--;
            if(inf[u]) printf("infinity
");
            else printf("%.3lf
", fabs(A[u][u]) < eps ? 0.0 : A[u][n]/A[u][u]);
        }
        
    }
    return 0;
}

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kuangbin大神模板

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int MAXN=50;



int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元



/*
void Debug(void)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < equ; i++)
    {
        for (j = 0; j < var + 1; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
*/


inline int gcd(int a,int b)
{
    int t;
    while(b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0;i<=var;i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
    {// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 枚举要删去的行.
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }

  //  Debug();

    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    int i, j;
    int equ,var;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
//        Debug();
        int free_num = Gauss(equ,var);
        if (free_num == -1) printf("无解!
");
   else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!
");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d
", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的
", i + 1);
                else printf("x%d: %d
", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d
", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

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消元

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 typedef __int64 lld;
 8 
 9 lld a[205][205];
10 
11 int sign;
12 lld N,MOD;
13 void solved()
14 {
15     lld ans=1;
16     for(int i=0;i<N;i++)//当前行
17     {
18         for(int j=i+1;j<N;j++)//当前之后的每一行，因为每一行的当前第一个数要转化成0（想想线性代数中行列式的计算）
19         {
20             int x=i,y=j;
21             while(a[y][i])//利用gcd的方法，不停地进行辗转相除
22             {
23                 lld t=a[x][i]/a[y][i];
24 
25                 for(int k=i;k<N;k++)
26                     a[x][k]=(a[x][k]-a[y][k]*t)%MOD;
27 
28                 swap(x,y);
29             }
30             if(x!=i)//奇数次交换，则D=-D'整行交换
31             {
32                 for(int k=0;k<N;k++)
33                     swap(a[i][k],a[x][k]);
34                 sign^=1;
35             }
36         }
37         if(a[i][i]==0)//斜对角中有一个0，则结果为0
38         {
39             cout<<0<<endl;
40             return ;
41         }
42 
43         else
44             ans=ans*a[i][i]%MOD;
45 
46     }
47 
48     if(sign!=0)
49         ans*=-1;
50     if(ans<0)
51         ans+=MOD;
52     printf("%I64d
",ans);
53 }
54 int main()
55 {
56     int t;
57     scanf("%d",&t);
58 
59     while(t--)
60     {
61         sign=0;
62         scanf("%I64d%I64d",&N,&MOD);
63         for(int i=0;i<N;i++)
64             for(int j=0;j<N;j++)
65                 scanf("%I64d",&a[i][j]);
66         solved();
67     }
68     return 0;
69 }

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 湘潭邀请赛

http://202.197.224.59/OnlineJudge2/index.php/Problem/read/id/1260

A-1 = A*/|A|

#include <string.h>
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int Mod = 1e9+7;
int n;
int a[210][210], b[210][210];
int mul(int x){
    int xx = Mod - 2, sum = 1;
    while(xx){
        if(xx&1) sum = 1LL * sum * x % Mod;
        x = 1LL * x * x % Mod;
        xx >>= 1;
    }
    return sum;
}
void d(){
    int cnt = 1;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        for(int j = 0; j < n; ++j){
            b[i][j] = (i == j);
        }
    }
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        int t = i;
        for(int j = i; j < n; ++j){
            if(!a[j][i]){
                t = j;
            }
        }
        if(t != i) cnt *= -1;
        for(int j = 0; j < n; ++j){
            swap(a[i][j], a[t][j]);
            swap(b[i][j], b[t][j]);
        }
        cnt = 1LL * cnt * a[i][i] % Mod;
        int xx = mul(a[i][i]);  //求逆
        for(int j = 0; j < n; ++j){
            a[i][j] = 1LL * a[i][j]*xx%Mod;
            b[i][j] = 1LL * b[i][j]*xx%Mod;
        }
        for(int k = 0; k < n; ++k){
            if(k == i) continue;
            ll tm = a[k][i];
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                a[k][j] = (a[k][j] - 1LL * tm*a[i][j]%Mod + Mod)%Mod;
                b[k][j] = (b[k][j] - 1LL * tm*b[i][j]%Mod + Mod)%Mod;
            }
        }
    }
    cnt = (Mod+cnt)%Mod;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        for(int j = 0; j < n; ++j){
            b[i][j] = 1LL * b[i][j]*cnt%Mod;
        }
    }
}
int main(){
    while(~scanf("%d", &n)){
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            a[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < n; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
        d();
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            printf("%d%c", (i&1 ? (Mod-b[i][0])%Mod : b[i][0]), (i == n-1 ? '
' : ' '));
        }
    }
    return 0;
}

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https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=27&page=show_problem&problem=2537

 乘积是平方数

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn = 555;
int num = 0, n, ma;
bool vis[maxn];
int pr[maxn], A[185][105];
void p(){
    for(int i = 2; i <= 500; ++i){
        if(!vis[i]) pr[num++] = i;
        for(int j = 0; j < num && i*pr[j] <= 500; ++j){
            if(i%pr[j]) vis[i*pr[j]] = true;
            else{
                vis[i*pr[j]] = true;
                break;
            }
        }
    }
}
void solve(){
    int i = 0, j = 0, k, r, u;
    while(i < ma && j < n){
        r = i;
        for(k = i; k < ma; ++k){
            if(A[k][j]){
                r = k;
                break;
            }
        }
        if(A[r][j]){
            if(r != i){
                for(k = 0; k <= n; ++k) swap(A[r][k], A[i][k]);
            }
            for(k = i+1; k < ma; ++k) if(A[k][j]){
                for(u = i; u <= n; ++u){
                    A[k][u] ^= A[i][u];
                }
            }
            ++i;
        }
        ++j;
    }
    //cout<<"****************"<<i<<endl;
    printf("%lld
", (1LL << (n-i))-1LL);
}
int main(){
    int t;
    p();
    //cout<<num<<endl;
    //cout<<pr[0]<<endl;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        memset(A, 0, sizeof(A));
        scanf("%d", &n);
        ma = -1;
        for(int i = 0; i < n; ++i){
            ll x;
            scanf("%lld", &x);
            for(int j = 0; j < num; ++j){
                while(x%pr[j] == 0){
                    A[j][i] ^= 1, ma = max(ma, j+1), x/=pr[j];
                }
            }
        }
        /*
        for(int i = 0; i < ma; ++i){
            for(int j = 0; j < n; ++j){
                printf("%d%c", A[i][j], (j == n-1 ? '
' : ' '));
            }
        }
        */
        solve();
    }
    return 0;
}

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只有不断学习才能进步！