题意
有(1cdots N)的颜色球，每种有(K)个。将所有的(N imes K)球进行排列，同时将每种颜色的第一个凃成颜色(0)（没出现过），问有多少种可能的颜色序列。
- (N,Kleq 2000)
分析
先考虑一种最暴力的做法，就是我们考虑一个dp，设(f_{i,2^S})表示前(i)个里面已经选了(S)这一个集合的球，那么就很容易进行进一步dp了。
但是，这个复杂度显然是炸上天了，我们肯定可以用某种方法进行改进。这里性能的瓶颈在于我们如何考虑已经选了的颜色。我们可以发现，这里所有的颜色本质上没有区别，也就是说，你完全可以把某两个颜色代表的意义换过来。
这样我们发现，我们完全可以利用一个序的关系。曾经就有一个题目，按照排序强行做操作从而很高效地解决了题目，这里也可以利用类似的思路。我们考虑，将颜色按照某种方式排序，然后我们可以设出(f_{i,j})表示前(i)个数里面已经用了(1cdots j)的颜色，我们考虑转移有两种，一种是前面(j)种颜色里面添加一种，一种是添加一种新的颜色。我们如果考虑强行让选的顺序是递增的，那么我们下一个选的颜色就只能是(j)，也就是从(f_{i-1,j-1})转移。由此很容易写出转移方程：(f_{i,j}=j imes f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1})。这个方程就很容易在( ext O(NK))的时间内做完。实际上我们再看一眼：这不就是个斯特林数的递推式嘛！那我们只要套上斯特林数( ext O(Klog N))就做完了……因为对于斯特林数我们存在一个公式：
[S(n,m)=frac{1}{m!}sumlimits_{k=0}^m(-1)^{m-k}inom{m}{k}k^n
]
这个公式套进去就做完了……