bzoj2326 [HNOI2011]数学作业

Description

正解：DP+矩阵快速幂。

这道题，我们可以写出递推方程：$f[i]=f[i-1]*10^{k}+i$，然后我们可以画出$3*3$的初始矩阵和转移矩阵。

初始矩阵：

$f[n]$ $n$ 1

0 0 0

0 0 0

转移矩阵：

$10^{k}$ 0 0

1 1 0

1 1 1

然后我们按照位数分段进行矩阵快速幂，这道题就能成功解决了。

//It is made by wfj_2048~
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

ll bin[22],di[22],n,k;

struct data{ ll m[4][4]; }ans,a;

il ll gi(){
    RG ll x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il data mul(RG data a,RG data b){
    RG data c;
    for (RG int i=1;i<=3;++i)
    for (RG int j=1;j<=3;++j){
        c.m[i][j]=0;
        for (RG int p=1;p<=3;++p)
        (c.m[i][j]+=a.m[i][p]*b.m[p][j])%=k;
    }
    return c;
}

il data qpow(RG data a,RG ll b){
    RG data ans=a; b--;
    while (b){
    if (b&1) ans=mul(ans,a);
    a=mul(a,a),b>>=1;
    }
    return ans;
}

il void work(){
    n=gi(),k=gi(),bin[0]=1,ans.m[1][3]=1;
    for (RG int i=1;i<=18;++i) bin[i]=bin[i-1]*10%k,di[i]=di[i-1]*10+9;
    for (RG int i=1;i<=18;++i){
    memset(a.m,0,sizeof(a.m));
    a.m[1][1]=bin[i],a.m[2][1]=a.m[2][2]=1;
    for (RG int j=1;j<=3;++j) a.m[3][j]=1;
    if (n>=di[i]) a=qpow(a,di[i]-di[i-1]);
    else a=qpow(a,n-di[i-1]);
    ans=mul(ans,a); if (n<=di[i]) break;
    }
    printf("%lld",ans.m[1][1]); return;
}

int main(){
    File("homework");
    work();
    return 0;
}