bzoj1025 [SCOI2009]游戏

Description

　　windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。

如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。

Input

　　包含一个整数N,1 <= N <= 1000

Output

　　包含一个整数，可能的排数。

Sample Input

【输入样例一】
3
【输入样例二】
10

Sample Output

【输出样例一】
3
【输出样例二】
16

正解：置换+背包。

这题要求对于一个数列的任意一种置换，有多少种循环节。

很显然，答案就是把$n$个数的置换进行循环分解，每个循环大小的$lcm$。

那么就是说对于$n$，我们需要把它分成若干数的和，求出这些数的$lcm$的方案数。

这里不加证明地给出一个结论，答案就是使得$p1^{a1}+p2^{a2}+...+pn^{an}<=n$的方案数，其中$p$为质数，很显然这个结论是对的。

那么我们筛出$[1,n]$的所有质数，做一遍背包就行了，具体实现看代码吧。

//It is made by wfj_2048~
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int prime[1010],vis[1010],n,cnt;
ll f[1010][1010],ans;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il void sieve(){
    for (RG int i=2;i<=n;++i){
    if (!vis[i]) prime[++cnt]=i;
    for (RG int j=1,k;j<=cnt;++j){
        k=i*prime[j]; if (k>n) continue;
        vis[k]=1; if (!i%prime[j]) break;
    }
    }
    return;
}

il void work(){
    n=gi(),sieve(),f[0][0]=1;
    for (RG int i=1;i<=cnt;++i){
    for (RG int j=0;j<=n;++j) f[i][j]=f[i-1][j];
    for (RG int j=prime[i];j<=n;j*=prime[i])
        for (RG int k=0;k+j<=n;++k) f[i][k+j]+=f[i-1][k];
    }
    for (RG int i=0;i<=n;++i) ans+=f[cnt][i];
    printf("%lld
",ans); return;
}

int main(){
    File("game");
    work();
    return 0;
}