bzoj3996 [TJOI2015]线性代数

Description

给出一个N*N的矩阵B和一个1*N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得

D=（A*B-C）*A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D

Input

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.

接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output

输出最大的D

Sample Input

3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

Sample Output

2

HINT

 1<=N<=500

正解：最大权闭合图。

翻译一下题意：在$[1,n]$中选出一些数，选出这个数$i$以后第$i$行和第$i$列都会被选到，获得一些贡献，同时产生$c[i]$的代价。问怎样选行列使得贡献最大，求出最大贡献。

我们注意到，如果第$i$行第$j$列的数选了，那么$c[i]$和$c[j]$也都要选。这相当于是一些贡献依赖于一些代价。那么我们直接建出最大权闭合图，用正权和减去最小割即可。听说代价向贡献连边跑得更快？于是我也这么写了。。

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define NN (500010)
#define N (510)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

struct edge{ int nt,to,flow,cap; }g[5000010];

int head[NN],dis[NN],q[NN],a[N][N],b[N][N],c[N],d[N],n,S,T,sz,ans,num=1;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il void insert(RG int from,RG int to,RG int cap){
    g[++num]=(edge){head[from],to,0,cap},head[from]=num; return;
}

il int bfs(RG int S,RG int T){
    for (RG int i=1;i<=sz;++i) dis[i]=0;
    RG int h=0,t=1; q[t]=S,dis[S]=1;
    while (h<t){
    RG int x=q[++h],v;
    for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt){
        v=g[i].to;
        if (!dis[v] && g[i].cap>g[i].flow){
        q[++t]=v,dis[v]=dis[x]+1;
        if (v==T) return 1;
        }
    }
    }
    return 0;
}

il int dfs(RG int x,RG int T,RG int a){
    if (x==T || !a) return a; RG int flow=0,f;
    for (RG int i=head[x],v;i;i=g[i].nt){
    v=g[i].to;
    if (dis[v]==dis[x]+1 && g[i].cap>g[i].flow){
        f=dfs(v,T,min(a,g[i].cap-g[i].flow));
        if (!f){ dis[v]=-1; continue; }
        g[i].flow+=f,g[i^1].flow-=f;
        flow+=f,a-=f; if (!a) return flow;
    }
    }
    return flow;
}

il int maxflow(RG int S,RG int T){
    RG int flow=0;
    while (bfs(S,T)) flow+=dfs(S,T,inf);
    return flow;
}

il void work(){
    n=gi(),S=++sz,T=++sz;
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
    for (RG int j=1;j<=n;++j){
        a[i][j]=++sz,b[i][j]=gi(),ans+=b[i][j];
        insert(a[i][j],T,b[i][j]),insert(T,a[i][j],0);
    }
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
    c[i]=gi(),d[i]=++sz,insert(S,d[i],c[i]),insert(d[i],S,0);
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
    for (RG int j=1;j<=n;++j)
        if (i!=j){
        insert(d[i],a[i][j],inf),insert(a[i][j],d[i],0);
        insert(d[j],a[i][j],inf),insert(a[i][j],d[j],0);
        } else insert(d[i],a[i][j],inf),insert(a[i][j],d[i],0);
    printf("%d
",ans-maxflow(S,T)); return;
}

int main(){
    File("linear");
    work();
    return 0;
}