运动积分
在力学系统的运动过程中，描述其状态的 (2s) 个变量 (q_i, dot q_i quad(i = 1, 2, cdots, s)) 随时间变化。但是存在关于这些变量的某些函数，其值在运动过程中保持恒定，且仅由初始条件决定，这样的函数称为 运动积分。
能量守恒
由 时间均匀性 可推导出 能量守恒。
由于时间具有均匀性，封闭系统的拉格朗日函数 (L) 不显含时间 (t)，则有
[frac{dL}{dt} = sum_i frac{dL}{dq} dot q + sum_i frac{dL}{ddot q} ddot q = C
]
已经由最小作用量原理，推导出了系统的拉格朗日方程（微分运动方程），有
[frac{d}{dt}(frac{dL}{ddot q}) = frac{dL}{dq}
]
代入上式则有
[frac{dL}{dt} = sum_i frac{dL}{dq} dot q + sum_i frac{dL}{ddot q} ddot q = sum_i frac{d}{dt}(frac{dL}{ddot q}) dot q + sum_i frac{dL}{ddot q} ddot q = sum_i frac{d}{dt}(frac{dL}{ddot q}) dot q + sum_i frac{dL}{ddot q} frac{d}{dt} dot q
]
进一步得到
[frac{dL}{dt} = sum_i frac{d}{dt}(frac{dL}{ddot q}) dot q + sum_i frac{dL}{ddot q} frac{d}{dt} dot q = sum_i frac{d}{dt}(frac{dL}{ddot q} dot q) = frac{d}{dt}(sum_i frac{dL}{ddot q} dot q)
]
因此有
[frac{d}{dt}(sum_i frac{dL}{ddot q} dot q) - frac{dL}{dt} = frac{d}{dt} ( sum_i frac{dL}{ddot q} dot q - L)= 0
]
因此可知
[E = sum_i frac{dL}{ddot q} dot q - L
]
在封闭系统运动过程中保持不变，是运动积分，称为系统的能量。
封闭系统的拉格朗日函数可以写成
[L = T(q, dot q) - U(q)
]
动量守恒
由空间的均匀性可以推导出 动量守恒。
由于空间的均匀性，封闭力学系统在空间中发生平移时，其性质保持不变。那么，当期位置从 (oldsymbol{r}_alpha) 移动至 (oldsymbol{r}_alpha + oldsymbol{varepsilon}) 。在速度不变时，坐标无穷小的改变使拉格朗日函数发生改变
[delta L = sum_alpha frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha} delta oldsymbol{r}_alpha = oldsymbol{varepsilon} cdot sum_alpha frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha}
]
对于任意 (oldsymbol{varepsilon}) ，有 (delta L) 为零，则
[sum_alpha frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha} = 0
]
由系统的拉格朗日方程可得
[frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot q} - frac{partial L}{partial q} = 0
]
用 (oldsymbol{r}_alpha) 代换广义坐标 (q_i)，用 (oldsymbol{v}_alpha) 代换广义速度 (dot q)，即为
[frac{d}{dt}frac{partial L}{partial oldsymbol{v}_alpha} = frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha}
]
代入上式，有
[sum_alpha frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha} = sum_alpha frac{d}{dt}frac{partial L}{partial oldsymbol{v}_alpha} = frac{d}{dt} sum_alpha frac{partial L}{partial oldsymbol{v}_alpha} = 0
]
那么，则有
[oldsymbol{P} = sum_alpha frac{partial L}{partial oldsymbol{v}_alpha}
]
在运动中保持不变，矢量 (oldsymbol{P}) 称为系统的动量。
在没有外场的情况下，动量矢量的三个分量都守恒。然而，在有外场的情况下，如果是能不显含某个笛卡尔坐标，则相应的该方向的动量分量守恒。
角动量守恒
由空间各向同性可得到封闭系统的角动量守恒。
各向同性 意味着封闭系统整体在空间中任意转动时，力学特性保持不变。引入无穷下转动矢量 (delta oldsymbol{varphi})，其大小等于转角 (deltavarphi)，方向沿转动轴。
当转过 (delta oldsymbol{varphi}) 时，个质点径矢变化为
[|delta oldsymbol{r}| = r sin heta cdot deltavarphi
]
位移矢量的方向垂直过 (oldsymbol{r}) 和 (delta oldsymbol{varphi}) 的平面，显然有
[delta oldsymbol{r} = delta oldsymbol{varphi} imes oldsymbol{r}
]
在系统转动时，不仅径矢的方向改变，而且所有质点的速度也发生改变，并且所有矢量的变化规律相同，所以，速度相对固定坐标系的增量为
[delta oldsymbol{v} = delta oldsymbol{varphi} imes oldsymbol{v}
]
当发生转动时，拉格朗日函数不变，即有
[delta L = sum_alpha (frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha} cdot delta oldsymbol{r}_alpha + frac{partial L}{partial oldsymbol{v}_alpha} cdot delta oldsymbol{v}_alpha) = 0
]
在推导动量守恒时，定义了
[oldsymbol{p}_alpha = frac{partial L}{partial oldsymbol{v}_alpha}
]
为质点的动量。代入拉格朗日方程得到
[frac{d}{dt} frac{partial L}{partial v} = frac{partial L}{partial r}
]
有
[oldsymbol{dot p}_alpha = frac{d}{dt} oldsymbol{p}_alpha = frac{partial L}{partial oldsymbol{r}_alpha}
]
代入上式，有
[delta L = sum_alpha (oldsymbol{dot p}_alpha cdot delta oldsymbol{r}_alpha + oldsymbol{p}_alpha cdot delta oldsymbol{v}_alpha) = sum_alpha (oldsymbol{dot p}_alpha cdot (delta oldsymbol{varphi} imes oldsymbol{r}) + oldsymbol{p}_alpha cdot (delta oldsymbol{varphi} imes oldsymbol{v})) = 0
]
由 (oldsymbol{a} cdot (oldsymbol{v} imes oldsymbol{c}) = oldsymbol{b} cdot (oldsymbol{c} imes oldsymbol{a})) 可将上式转化为
[delta L = sum_alpha (delta oldsymbol{varphi} cdot (oldsymbol{r} imes oldsymbol{dot p}_alpha) + delta oldsymbol{varphi} cdot (oldsymbol{v} imes oldsymbol{p}_alpha) = delta oldsymbol{varphi} cdot sum_alpha [(oldsymbol{r} imes oldsymbol{dot p}_alpha) + (oldsymbol{v} imes oldsymbol{p}_alpha)] = 0
]
又由 (AdB + BdA = dAB) 以及 $ v = dr/dt$，可得如下公式：
[delta L = delta oldsymbol{varphi} cdot sum_alpha [(oldsymbol{r} imes oldsymbol{dot p}_alpha) + (oldsymbol{v} imes oldsymbol{p}_alpha)] = delta oldsymbol{varphi} cdot sum_alpha frac{d}{dt}(oldsymbol{r} imes oldsymbol{p}_alpha) = 0
]
又由于转角 (delta oldsymbol{varphi})的任意性，那么，封闭系统满足
[sum_alpha frac{d}{dt}(oldsymbol{r} imes oldsymbol{p}_alpha) = 0
]
即有，封闭力学系统运动过程中，矢量
[oldsymbol{M} = sum_alpha oldsymbol{r} imes oldsymbol{p}_alpha
]
恒定不变，这个物理量称之为系统的角动量。
任何封闭系统总共有 7 个这样的运动积分：能量、动量的三个分量和角动量的三个分量。