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  • 有限元方法的核心思想

    最近在学习有限元方法的基础知识,大致总结了下我对于有限元方法核心思想的理解。有限元方法所应用的领域也非常广泛,计划整理一个系列的笔记,以弹性力学问题的有限元求解方法为例,给出有限元方法的基本思路。最后,总结有限元、加权残余量法等求解各类问题的基本思路。


    有限元方法基本步骤:

    (1) 将问题域离散为有限个单元,(比如,三角形面片、四面体单元,等。)离散域中的点(网格节点),称之为 结点

    (2) 选择一个函数,用单元(子域)上结点的某物理量的值(比如,位移等),唯一地表示单元(子域)内任意一点的物理量的值。此函数称之为 插值函数

    (3) 通过已知的物理关系,在各个单元(子域)内,进行一些列的计算。比如,积分、计算弹性力大小,等等。核心思想在于,单元内任意一点的物理量都可以由结点处的值表示。因此,最终这一些列的计算,都变成了单元的节点处物理量的函数/计算。

    (4) 由各个单元(子域)内的计算结果,通过某种形式,整合成整个问题域内的计算。这样,整个问题域内的计算/所满足的方程,就变成了各个结点处物理量的函数。也就是说,将一个连续问题,变成了离散问题。

    (5) 对所得到的有限维度的问题,进行求解。


    小结

    自己也觉得,说的云里雾里的。还是以弹性力学问题为例,总结一遍有限元方法的过程。另外,对于其他类型问题的有限元求解方法,以及加权残余量法,等等,也一并举例梳理一下。

    1 - 弹性力学问题的有限元求解(一):杆系结构

    2 - 弹性力学问题的有限元求解(二):弹性力学平面问题

    3 - 弹性力学问题的有限元求解(三):弹性力学空间问题

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