三种求乘法逆元方法详解

P3811 【模板】乘法逆元

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定n,p求1~n中所有整数在模p意义下的乘法逆元。

输入输出格式

输入格式：

一行n,p

输出格式：

n行,第i行表示i在模p意义下的逆元。

输入输出样例

输入样例#1：

10 13

输出样例#1：

1
7
9
10
8
11
2
5
3
4

说明

1≤n≤3×10​6​​,n<p<20000528

输入保证 p 为质数。

我们有三种办法求逆元 

由欧拉定理可知 

当gcd(a,n)==1 时 我们有 A^φ(n-1)≡ 1(mod n) ;

所以 我们有 A*A^φ(n-2) ≡ 1(mod n) 

所以A^φ(n-2) 就是A关于mod n的逆元 

/*
    p为素数时 可用费马小定理 
    longlong*longlong 要慢一点 66分 
*/
#include <cctype>
#include <cstdio>

typedef long long LL;

int n,p;

inline LL quick_pow(LL a,int k) {
    LL ret=1;
    while(k) {
        if(k&1) ret=(ret*a)%p;
        k>>=1;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ret;
}

int hh() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1
");
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        LL t=quick_pow(i,p-2);
        printf("%d
",(t+p)%p);
    }
    return 0;
}

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}

还有我们可以用exgcd来求逆元 

我们知道 若ax≡1(mod p)  这我们可以写成 ax=py+1；

移项则有 ax-by=1  这明显就是扩展欧几里得

当 ax+by=gcd(a,b)  gcd(a,b) == gcd(b,a%b) 

我们得到 bx1+(a-(a/b)*b)y1=gcd(b,a%b);

则 ax+by=bx1+(a-(a/b)*b)y1 //这里 / 代表整除 

   ax+by=bx1+ay1-b*(a/b)y1 

   ax+by=ay1+b(x1-(a/b)*y1) 

我们得到 x=y1

　　　　 y=x1-(a/b)*y1;

x 即为我们所求的逆元 

由于 x 可能为负数 要(x+p)%p 

/*
    EXgcd 求逆元
    比费马小定理要快一点 83分  
*/
#include <cstdio>
#include <cctype>

int n,p;

inline int exgcd(int a,int b,int&x,int&y) {
    if(!b) {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int p=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return p;
} 

int hh() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1
");
    int x,y; 
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        exgcd(i,p,x,y);
        printf("%d
",(x+p)%p);
    }
    return 0;
}

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}

但是对于 这个题来讲 复杂度还是不够 

我们还有线性求逆元的方法 

来看带余除法 式子 p=k*i+r 

我们可以写成 k*i+r≡0(mod p) 

式子两边同乘 i^-1*r^-1 (i^-1,r^-1皆为模p意义下的逆元) 

所以我们有 k*r^-1+i^-1≡0(mod p) 

i^-1≡-k*r^-1(mod p)

i^-1≡-(p/i)*(p%i)^-1(mod p)

这样我们就线性求得了逆元

#include <cctype>
#include <cstdio>

typedef long long LL;
const int MAXN=3000010;

int n,p;

LL inv[MAXN];

int hh() {
    scanf("%d%d",&n,&p);
    printf("1
");
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        inv[i]=(LL)(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        printf("%d
",inv[i]);
    }
    return 0;
} 

int sb=hh();
int main(int argc,char**argv) {;}