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  • 欧拉路、欧拉回路

    定义 给定一个连通图,如果存在图中一条路径,经过且恰好经过每条边一次,则称这条路径为这个图的欧拉路(Eulerian Path),这张图叫做一张欧拉图(Eulerian Graph)。特别地,如果这条路径是一个回路则称其为欧拉回路(Eulerian Circuit)。

    那么根据上述定义,我们有下列欧拉图的判定定理。

    定理 对于有向图 (G = (V,E)) 中的一个顶点 (u),其入度 (in(u)) 定义为连向它的边的个数,出度 (out(u))定义为从它连出的边的个数。如果图 (G) 满足

    [forall uin V,|in(u) - out(u)|leq1, sum_{uin V}[|in(u)-out(u)|=1]leq2 ]

    则其上必然有一条欧拉路,特别地,如果条件二中的 2 改为 0,则其上必然有一条欧拉回路。

    而对于无向图,我们有类似的判定定理。我们记无向图 (G) 的一个顶点 (u) 的度 (deg(u)) 为它所伸出的边的个数。则如果无向图满足:

    [sum_{uin V} deg(u) mod 2leq2 ]

    则其上必然有一条欧拉路,而如果条件中的 2 改为 0,则必然有一条欧拉回路。

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