Luogu P2303 [SDOi2012]Longge的问题 题解

题目

解题思路

gcd(i,n)的值一定是n的一个约数，并且n的约数个数并不大(好像不会超过5000)

由此可以想到枚举n的每个约数p，再求出gcd(i,n)的值为p的i的个数num，答案res就为p*num的和

因此只要求出对于每个P满足要求的i的个数即可解决问题

设当gcd(i,n)为p时，i=p·k1,n=p·k2.易得此时k1,k2互质

求与一个数互质的数的个数？这正是欧拉函数解决的问题

由于n的约数很少（计算次数少），不需要用欧拉函数的递推式，直接按照公式计算就可以了

代码

#include <stdio.h>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 1e5;
ll n, tot, res, h, k[N], p[N];
inline ll P (ll x) { return x * x; }
inline void Pre_work () {        //素数线性筛模板 
	for (int i = 2; P(i) <= n; ++i) {
		if (!k[i]) p[++tot] = i;
		for (int j = 1; j <= tot and P (i * p[j]) <= n; ++j) {
			k[i * p[j]] = 1;
			if (i % p[j] == 0) break;
		}
	}
}
inline ll f (ll x) {
	ll res (x);
	for (int i = 1; i <= tot and p[i] <= x; ++i)    //套用欧拉公式计算 
	  if (x % p[i] == 0) {
	  	res = res * (p[i] - 1) / p[i]; 
	  	while (x % p[i] == 0) x /= p[i];
	  }
	return res * (x - 1 + (x == 1)) / x;        //最后x可能是个质数，要再计算一次（ x为 1时需要特判） 
}
int main() {
	scanf ("%lld", &n);
	Pre_work ();     //找出1——sqrt(n)的素数 
	for (int i = 1; P(i) <= n; ++i)   //找出 n的约数 
		if (n % i == 0) res += i * f (n / i) + (P(i) != n) * n / i * f (i); //如果i*i==n要特判防止重复计算 
	printf ("%lld
", res);
	return 0;
}