算法笔记--区间dp

1.石子归并问题

dp[i][j]表示区间i到j合并所需的最小花费。

先求出小区间的最小花费，再转移到大的区间。

转移方程：dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])

初始状态：dp[i][i]=0

模板：

    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],sum[i]=sum[i-1]+a[i]
    for(int l=2;l<=n;l++){
        for(int i=1;i+l-1<=n;i++){
        　　int j=i+l-1;
        　　dp[i][j]=INF;
        　　for(int k=i;k<j;k++){
        　　　　dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
        }
    }

2.括号匹配问题

求最大括号匹配数

dp[i][j]表示i到j区间的最大括号匹配数

先求出小区间的最大括号匹配数，再转移到大区间。

状态转移：

dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']')

dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j],dp[i][j])(i<=k<j)

初始状态：dp[i][j]=0

模板：

        for(int len=2;len<=s.size();len++){
            for(int i=0;i<s.size();i++){
                int j=i+len-1;
                if(j<s.size()){
                    if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']')dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
                    for(int k=i;k<j;k++)
                    dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j],dp[i][j]);
                }
            }
        }

记录路径，括号补全

用pos[i][j]记录i到j这段区间从哪个位置断开所要消耗的括号最少，然后从断点分开，递归输出答案。

模板：

void dfs(int l,int r){
    if(l>r)return ;
    if(l==r){
        if(s[l]=='('||s[l]==')')putchar('('),putchar(')');
        else putchar('['),putchar(']');
    }
    else{
        if(pos[l][r]==-1){
            putchar(s[l]);
            dfs(l+1,r-1);
            putchar(s[r]);
        }
        else{
            dfs(l,pos[l][r]);
            dfs(pos[l][r]+1,r);
        }
    }
}
for(int l=2;l<=len;l++){
            for(int i=0;i+l-1<len;i++){
                int j=i+l-1;
                if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']')dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2,pos[i][j]=-1;
                for(int k=i;k<j;k++){
                    if(dp[i][k]+dp[k+1][j]>=dp[i][j]){
                        dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j];
                        pos[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
dfs(0,len-1);

参考博客：http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/24194605