最大流：
给定指定的一个有向图，其中有两个特殊的点源S(Sources)和汇T(Sinks)，每条边有指定的容量(Capacity)，求满足条件的从S到T的最大流(MaxFlow)。
最小割：
割是网络中定点的一个划分，它把网络中的所有顶点划分成两个顶点集合S和T，其中源点s∈S,汇点t∈T，从S出发指向T的边的集合，称为割(S,T)，这些边的容量之和称为割的容量。容量最小的割称为最小割。
根据最大流最小割定理，最大流等于最小割。
其他：
求最小割边的个数的方法：
①建边的时候每条边权 w = w * (E + 1) + 1;这样得到最大流 maxflow / (E + 1) ，最少割边数 maxflow % (E + 1)
②建图，得到最大流后，图中边若满流，说明该边是最小割上的边；再建图，原则：满流的边改为容量为 1 的边，未满流的边改为容量 INF 的边，然后最大流即答案
Ford-Fulkerson算法模板：
const int INF = 0x7f7f7f7f; struct edge { int to, w, rev; }; vector<edge> g[N]; bool vis[555]; void add_edge(int from, int to, int w) { g[from].pb((edge){to, w, g[to].size()}); g[to].pb((edge){from, 0, g[from].size()-1}); } //通过dfs寻找增广路 int dfs(int u, int t,int f) { if (u == t) return f; vis[u] = true; for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { edge &e = g[u][i]; if(!vis[e.to] && e.w > 0) { int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w)); if(d > 0) { e.w -= d; g[e.to][e.rev].w += d; return d; } } } return 0; } int max_flow(int s, int t) { int flow = 0; while(true) { mem(vis, false); int f = dfs(s, t, INF); if (f == 0) return flow; flow += f; } return flow; }
Dinic算法+弧优化模板：
const int INF = 0x7f7f7f7f; int level[N], iter[N]; struct edge { int to, w, rev; }; vector<edge>g[N]; void add_edge(int u, int v, int w) { g[u].pb(edge{v, w, g[v].size()}); g[v].pb(edge{u, 0, g[u].size()-1}); } void bfs(int s) { mem(level, -1); queue<int>q; level[s] = 0; q.push(s); while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { edge e = g[u][i]; if(e.w > 0 && level[e.to] < 0) { level[e.to] = level[u] + 1; q.push(e.to); } } } } int dfs(int u, int t, int f) { if(u == t ) return f; for (int &i = iter[u]; i < g[u].size(); i++) { edge &e = g[u][i]; if(e.w > 0 && level[u] < level[e.to]) { int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w)); if(d > 0) { e.w -= d; g[e.to][e.rev].w +=d; return d; } } } return 0; } int max_flow(int s, int t) { int flow = 0; while(true) { bfs(s); if(level[t] < 0) return flow; int f; mem(iter, 0); while ((f = dfs(s, t, INF)) > 0) { flow += f; } } }
建图：把每头牛拆成两个，然后之间建一条容量为1的边，然后把food和drink分别放在牛的两边，分别和牛建容量为1的边，然后再在food和drink左右两边分别加一个源点s和汇点t。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; #define LL long long #define pb push_back #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = 1555; const int INF = 0x7f7f7f7f; struct edge { int to, w, rev; }; vector<edge> g[N]; bool vis[555]; void add_edge(int from, int to, int w) { g[from].pb((edge){to, w, g[to].size()}); g[to].pb((edge){from, 0, g[from].size()-1}); } int dfs(int u, int t,int f) { if (u == t) return f; vis[u] = true; for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { edge &e = g[u][i]; if(!vis[e.to] && e.w > 0) { int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w)); if(d > 0) { e.w -= d; g[e.to][e.rev].w += d; return d; } } } return 0; } int max_flow(int s, int t) { int flow = 0; while(true) { mem(vis, false); int f = dfs(s, t, INF); if (f == 0) return flow; flow += f; } return flow; } int main() { int n, f, d, t, _t, u; scanf("%d%d%d", &n, &f, &d); for (int i = 1; i <= n; i++) { add_edge(i, i+n, 1); } for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d%d", &t, &_t); while(t--) { scanf("%d", &u); add_edge(u+2*n, i, 1); } while(_t--) { scanf("%d", &u); add_edge(i+n, u+2*n+f, 1); } } for (int i = 1; i <= f; i++) { add_edge(0, i+2*n, 1); } for (int i = 1; i <= d; i++) { add_edge(i+2*n+f, 500, 1); } printf("%d ", max_flow(0, 500)); return 0; }
建图：把每台设备拆成两个，然后之间建一条容量为设备操作台数的边，然后在所有的input里找没有1的设备，与源点s相连，在所有的output里找没有0的设备，与汇点t相连。然后设备之间如果input和output能匹配，就相连。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> #include<queue> #include<algorithm> using namespace std; #define LL long long #define pb push_back #define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) const int N = 66; const int INF = 0x7f7f7f7f; int level[N*2], iter[N*2], in[N][15], out[N][15]; bool vis[N][N]; struct edge { int to, w, rev; }; struct node { int x, y, z; }res[N*N]; vector<edge>g[N*2]; void add_edge(int u, int v, int w) { g[u].pb(edge{v, w, g[v].size()}); g[v].pb(edge{u, 0, g[u].size()-1}); } void bfs(int s) { mem(level, -1); queue<int>q; level[s] = 0; q.push(s); while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) { edge e = g[u][i]; if(e.w > 0 && level[e.to] < 0) { level[e.to] = level[u] + 1; q.push(e.to); } } } } int dfs(int u, int t, int f) { if(u == t ) return f; for (int &i = iter[u]; i < g[u].size(); i++) { edge &e = g[u][i]; if(e.w > 0 && level[u] < level[e.to]) { int d = dfs(e.to, t, min(f, e.w)); if(d > 0) { e.w -= d; g[e.to][e.rev].w +=d; return d; } } } return 0; } int max_flow(int s, int t) { int flow = 0; while(true) { bfs(s); if(level[t] < 0) return flow; int f; mem(iter, 0); while ((f = dfs(s, t, INF)) > 0) { flow += f; } } } int main() { int p, n, w; while(~ scanf("%d%d", &p, &n)) { for (int i = 0; i < N*2; i++) g[i].clear(); mem(vis, false); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &w); add_edge(i, i+n, w); for (int j = 1; j <= p; j++) scanf("%d", &in[i][j]); for (int j = 1; j <= p; j++) scanf("%d", &out[i][j]); } for (int i = 1; i <= n; i++) { bool f = true, _f = true; for (int j = 1; j <= p; j++) if(in[i][j] == 1) f = false; for (int j = 1; j <= p; j++) if(!out[i][j]) _f = false; if(f) add_edge(0, i, INF); if(_f) add_edge(i+n, 120, INF); for (int j = i + 1; j <= n; j++) { bool f = true, _f = true; for (int k = 1; k <= p; k++) { if(in[j][k] == 2); else { if(out[i][k] != in[j][k]) f = false; } if(in[i][k] == 2); else { if(out[j][k] != in[i][k]) _f = false; } } if(f) add_edge(i+n, j, INF), vis[i][j] = true; if(_f) add_edge(j+n, i, INF), vis[j][i] = true; } } int ans = max_flow(0, 120); int cnt = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { if(g[i].size() == 0)continue; for (int j = 0; j < g[i].size(); j++) { if(g[i][j].to == 0 || g[i][j].to == 120 || g[i][j].to == i+n || g[i][j].to <= n ) continue; if(0 < g[i][j].w && vis[g[i][j].to-n][i]) { res[++cnt].x = g[i][j].to - n; res[cnt].y = i; res[cnt].z = g[i][j].w; } } } printf("%d %d ", ans, cnt); for (int i = 1; i <= cnt; i++) printf("%d %d %d ", res[i].x, res[i].y, res[i].z); } return 0; }
最小费用最大流：
坑
详见挑战程序设计
上下界网络流：