自从机房掀起学习数学之风，我便跟风学起了数学（其实是因为不会）
众所周知FFT很有用（一开始真是不太好理解）。
首先上大佬的博客：
1.胡小兔（对不起我不如小学生）
2.路人黑的纸巾
3.GGN_2015
4.自为风月马前卒
接下来是正文（我抄的）。
FFT（Fast Fourier Transformation），中文名快速傅里叶变换，用来加速多项式乘法
前置知识：无吧？（反正我上数学课顺便看了看复数的基础知识就过来学了）
啊好吧还是有的
向量
同时具有大小和方向的量
在几何中通常用带有箭头的线段表示
圆的弧度制
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制
公式:
1∘=π180rad1∘=π180rad
180∘=πrad180∘=πrad
平行四边形定则
平行四边形定则：AB+AD=AC
系数表示法
设A(x)表示一个n−1次多项式
则A(x)=∑ni=0ai∗xi
例如：A(3)=2+3∗x+x2
利用这种方法计算多项式乘法复杂度为O(n2)
（第一个多项式中每个系数都需要与第二个多项式的每个系数相乘）
点值表示法
将nn互不相同的xx带入多项式，会得到nn个不同的取值yy
则该多项式被这nn个点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn))唯一确定
其中yi=∑n−1j=0aj∗xji
例如：上面的例子用点值表示法可以为(0,2),(1,6),(2,12)
利用这种方法计算多项式乘法的时间复杂度仍然为O(n^2)
（选点O(n)，每次计算O(n)）
复数
定义
设a,ba,b为实数，i2=−1i2=−1，形如a+bia+bi的数叫复数，其中ii被称为虚数单位，复数域是目前已知最大的域
在复平面中，xx代表实数，yy轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)(0,0)到(a,b)(a,b)的向量表示复数a+bia+bi
模长：从原点(0,0)(0,0)到点(a,b)(a,b)的距离，即a2+b2−−−−−−√a2+b2
幅角：假设以逆时针为正方向，从xx轴正半轴到已知向量的转角的有向角叫做幅角
C++的STL提供了复数模板！
头文件：#include <complex>
定义： complex<double> x;
运算：直接使用加减乘除。
代数定义：
傅里叶要用到的n个复数，不是随机找的，而是——把单位圆（圆心为原点、1为半径的圆）n等分，取这n个点（或点表示的向量）所表示的虚数，即分别以这n个点的横坐标为实部、纵坐标为虚部，所构成的虚数。
从点(1,0)(1,0)开始（显然这个点是我们要取的点之一），逆时针将这n个点从0开始编号，第kk个点对应的虚数记作ωnk（根据复数相乘时模长相乘幅角相加可以看出，ωnk是w1n的k次方，所以ω1n被称为n次单位根）。
单位根的性质
为什么要使用单位根作为xx代入
答：因为离散傅里叶变换有着特殊的性质。
一个结论
把多项式A(x)A(x)的离散傅里叶变换结果作为另一个多项式B(x)B(x)的系数，取单位根的倒数即ω0n,ω−1n,ω−2n,...,ω−(n−1)nωn0,ωn−1,ωn−2,...,ωn−(n−1)作为xx代入B(x)B(x)，得到的每个数再除以n，得到的是A(x)A(x)的各项系数
正主出场
快速傅里叶变换
然而知道了这些还不够（除非你想体验TLE的赶脚）
所以我们需要优化。
一.迭代优化（别问，问就是盗图，捂脸.jpg）
结论：每个位置分治后的最终位置为其二进制翻转后得到的位置
这样的话我们可以先把原序列变换好，把每个数放在最终的位置上，再一步一步向上合并
一句话就可以O(n)预处理第iii位最终的位置rev[i]
void get_rev(int bit){ //bit表示二进制的位数 for(int i=0;i<(1<<bit);i++)//我么要对1~2^bit-1中的所有数做长度为bit的二进制翻转 rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1)); }
emm我并没有看懂一开始，然后（我又要开始盗图啦）
我们可以把一个二进制数看成两部分，它的前bit-1位是一部分，它的最后一位是一部分。一个数的二进制翻转就相当于是把它的最后一位当成首位，然后在后面接上它前bit-1为的二进制翻转（有图有真相↓）。而且在这个循环中我们能保证，在计算“i”的二进制翻转之前1~i-1中的所有数的二进制翻转都已经完成。“i”的前bit-1位的数值其实就是[i/2]（向下取整）的值，也就是i>>1的值，直接调用i>>1的二进制翻转的结果就相当于调用了“i”的前bit-1位二进制翻转的结果。
其实i>>1的翻转与“i”的前bit-1位的翻转是有一点出入的，因为我们的二进制翻转始终以bit位为标准，所以i>>1会比“i”的前bit-1位多出一个前导零，而翻转之后就会多出一个“后缀零”，所以“i”的前bit-1位的翻转要去掉那个“后缀零”，也就是“rev[i>>1]>>1”。
我们只要把末尾乘上2^(bit-1)变成首位，再加上rev[i>>1]>>1就是我们要的答案了。（奇数偶数翻转的差别就是靠或操作来实现的）
二.蝴蝶操作（我又盗图了）
高不高大上？
好的，上述就是蝴蝶操作了（忘了它吧）这是一个很简单的优化
他可以帮助你原地进行FFT的前一半更新后一半的操作，只需要对代码稍加改动（嗯，就一点点，真的）
优化完结撒花
例题：【模板】A*B Problem升级版（FFT快速傅里叶）
这边提供两种代码，一种是自己的，另一种嘛，是某金牌教练写的（我并咩有看懂）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=211314; const double PI=acos(-1); typedef complex<double>cp; char sa[N],sb[N]; long long n=1,lena,lenb,res[N]; cp a[N],b[N],omg[N],inv[N]; void init(){ for(int i=0;i<n;i++){ omg[i]=cp(cos(2*PI*i/n),sin(2*PI*i/n)); inv[i]=conj(omg[i]);//共轭函数 } } void fft(cp *a, cp *omg){ int lim = 0; while((1 << lim) < n) lim++; for(long long i = 0; i < n; i++){ long long t = 0; for(long long j = 0; j < lim; j++) if((i >> j) & 1) t |= (1 << (lim - j - 1)); if(i < t) swap(a[i], a[t]); } for(long long l = 2; l <= n; l *= 2){ int m = l / 2; for(cp *p = a; p != a + n; p += l) for(long long i = 0; i < m; i++){ cp t = omg[n / l * i] * p[i + m]; p[i + m] = p[i] - t; p[i] += t; } } } int main(){ int l;cin>>l; scanf("%s%s", sa, sb); lena = strlen(sa), lenb = strlen(sb); while(n < lena + lenb) n *= 2; for(long long i = 0; i < lena; i++) a[i].real(sa[lena - 1 - i] - '0'); for(int i = 0; i < lenb; i++) b[i].real(sb[lenb - 1 - i] - '0'); init(); fft(a, omg); fft(b, omg); for(long long i = 0; i < n; i++) a[i] *= b[i]; fft(a, inv);//inv是取共轭复数的符号 for(long long i = 0; i < n; i++){ res[i] += floor(a[i].real() / n + 0.5); res[i + 1] += res[i] / 10; res[i] %= 10; } int t=lena + lenb - 1; while(res[t]==0)t--; for(int i =t; i >=0; i--){ putchar('0'+res[i]); } putchar(' '); return 0; }
第二个（这是他在我们写高精度a+b的时候让我们做的题（我们才学了不到一个月啊！！！！））
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; char s[60020]; long long a[14020]; long long b[14020]; long long c[14020]; int T = 9, B = 1; int main() { scanf("%*d"); for (int i = 0; i < T; i++) { B = B * 10; } scanf("%s", s); int la = strlen(s); reverse(s, s + la); for (int i = 0; i < la; i++) { s[i] -= '0'; } for (int i = 0; i * T < la; i++) { for (int j = T - 1; j >= 0; j--) { a[i] = a[i] * 10 + s[i * T + j]; } } la = (la + T - 1) / T; scanf("%s", s); int lb = strlen(s); reverse(s, s + lb); for (int i = 0; i < lb; i++) { s[i] -= '0'; } for (int i = 0; i * T < lb; i++) { for (int j = T - 1; j >= 0; j--) { b[i] = b[i] * 10 + s[i * T + j]; } } lb = (lb + T - 1) / T; int lc = la + lb; for (int i = 0; i < la; i++) { for (int j = 0; j < lb; j++) { c[i + j] += a[i] * b[j]; c[i + j + 1] += c[i + j] / B; c[i + j] %= B; } } while (lc > 1 && c[lc - 1] == 0) { lc--; } printf("%d", (int)c[lc - 1]); for (int i = lc - 2; i >= 0; i--) { printf("%09d", (int)c[i]); } printf(" "); return 0; }
这是一份被卡了两个点的代码（我不想改变我的写法（胡小兔大佬写法比较美观））
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=5211314; const double PI=acos(-1); typedef complex<double>cp; long long n=1,lena,lenb; cp a[N],b[N],omg[N],inv[N]; void init(){ for(int i=0;i<n;i++){ omg[i]=cp(cos(2*PI*i/n),sin(2*PI*i/n)); inv[i]=conj(omg[i]);//共轭函数 } } void fft(cp *a, cp *omg){ int lim = 0; while((1 << lim) < n) lim++; for(long long i = 0; i < n; i++){ long long t = 0; for(long long j = 0; j < lim; j++) if((i >> j) & 1) t |= (1 << (lim - j - 1)); if(i < t) swap(a[i], a[t]); // i < t 的限制使得每对点只被交换一次（否则交换两次相当于没交换） } for(long long l = 2; l <= n; l <<= 1){ int m = l / 2; for(cp *p = a; p != a + n; p += l) for(long long i = 0; i < m; i++){ cp t = omg[n / l * i] * p[i + m]; p[i + m] = p[i] - t; p[i] += t; } } } int read(){ int out = 0,flag = 1; char c = getchar(); while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();} while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 3) + (out << 1) + c - '0'; c = getchar();} return out * flag; } int main(){ lena=read();lenb=read(); for(n=1;n<=lena+lenb;n<<=1); for(int i=0;i<=lena;i++)a[i]=read(); for(int i=0;i<=lenb;i++)b[i]=read(); init(); fft(a,omg); fft(b,omg); for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=a[i]*b[i]; fft(a,inv); for(int i=0;i<=lena+lenb;i++)printf("%d ",(int)(a[i].real()/n+0.5)); return 0; }
这是一份过了的代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 2621450
#define pi acos(-1)
using namespace std;
typedef complex<double> E;
int n,m,l,r[N];
E a[N],b[N];
void FFT(E *a,int f){
for(int i=0;i<n;i++)if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){
E w(1,0);
for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y;
}
}
}
}
inline int read(){
int f=1,x=0;char ch;
do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(ch<'0'||ch>'9');
do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9');
return f*x;
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=read();
for(int i=0;i<=m;i++)b[i]=read();
m+=n;for(n=1;n<=m;n<<=1)l++;
for(int i=0;i<n;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
FFT(a,1);FFT(b,1);
for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,-1);
for(int i=0;i<=m;i++)printf("%d ",(int)(a[i].real()/n+0.5));
}
完结。