Card Collector(期望+min-max容斥)

Card Collector(期望+min-max容斥)

Card Collector

woc居然在毫不知情的情况下写出一个min-max容斥

题意

买一包方便面有几率附赠一张卡，有(n)种卡，每种卡出现的概率是(p_i),保证(Sigma p_i le 1)，集齐所有种类卡牌期望买多少包方便面？

解法

看次题解前，你必须要理解当只有一种卡，他出现的概率是(p)，那么我期望购买$frac 1 p $包方便面就可以获得这种卡。

否则请你右上角，因为博主不会解释...

唯一的解释就是：

(期望购买包数)( imes)(每包里面出现一张的概率)=(张数)

所以把概率除过去就好了...

我们想把所有(frac 1 p)加起来，发现这样的错误的，原因是我们忽略了每次抽卡牌的时候可能抽到别的卡牌，把所有$frac 1 p $加起来相当于必须抽到一张卡牌后才能抽到另一张，这样是不对的。

但是这样启示我们可以容斥，根据一些显然的概率原理(如果你不承认就右上角)，出现(1)或者(2)号卡牌的概率是(p_1+p_2)。那么，(frac 1 {p_1+p_2})的意思是，我抽到一张(1)或者(2)的期望次数。那么，抽到一张(1)和一张(2)的期望次数就是

[1/p_1+1/p_2-1/(p_1+p_2) ]

为什么我们的期望里要减去(1/(p_1+p_2))，因为我抽(1)的时候可能抽出(2)，会省下一点期望，这个期望具体的值就是(1/(p_1+p_2))(看不懂就右上角)。

所以我们就可以愉快地容斥了

[E(A)=sum_{t subseteq U}(-1)^{|t|}(frac 1 {sum _{p in t}p}) ]

实际上，这个式子就是(min-max)容斥。

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=25;
int num[maxn],n;
long double ans;
long double p[maxn];

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("in.in","r",stdin);
      freopen("out.out","w",stdout);
#endif
      num[1]=1;
      for(register int t=2;t<maxn;++t)
	    num[t]=num[t-1]<<1;
      while(~scanf("%ds",&n)){
	    for(register int t=1;t<=n;++t)
		  scanf("%Lf",&p[t]);
	    for(register int t=1,edd=1<<n;t<edd;++t){
		  long double delt=0;
		  register int cnt=0;
		  for(register int i=1;i<=n;++i)
			if(t&num[i]){
			      delt+=p[i];
			      ++cnt;
			}
		  if(cnt&1) ans+=1.0/delt;
		  else ans-=1.0/delt;
	    }
	    printf("%.4Lf
",ans);
	    ans=0;
      }
      return 0;
}