【题解】P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和
[P4091 HEOI2016/TJOI2016]求和
可以知道(i,j)从(0)开始是可以的，因为这个时候等于(0)。这种题目都要从(0)开始或许比较好(Itst语)
然后就开始化式子吧
原式=
[sum_{i=0}^{n} sum_{j=0}^n {i race j}2^j j!
]
斯特林容斥式子展开一下，并且我们知道当(k>j)时，({j choose k}=0)，所以扩大枚举范围到(n)
[sum_{i=0}^nsum_{j=0}^n j!sum_{k=0}^n dfrac 1 {j!}(-1)^k{j choose k}(j-k)^i
]
只有一项和(i)有关，约掉一些东西
[sum_{j=0}^nsum_{k=0}^j (-1)^k{j choose k}sum_{i=0}^n(j-k)^i
]
等比求和(边界情况到时候再考虑)
[sum_{j=0}^n sum_{k=0}^j (-1)^k{j choose k}dfrac {1-(j-k)^{n+1}} {1-(j-k)}
]
拆掉组合数
[sum_{j=0}^n j! sum_{k=0}^j dfrac{(-1)^k} {k!}dfrac {1-(j-k)^{n+1}} {1-(j-k)}
]
就是一个(NTT)的式子，(NTT)处理就好了。
这题关键就是想到那个...算了没什么关键的，无非就是记得几个公式。
其实关键的就是记得把枚举下标最好扩展到一起，来消除变量之间的相互联系，并且方便预处理。
考虑一些边界:
(j-k=0)的时候，此时(j=k)，代回到最开始发现要(=1)，或者说一般组合题里面认为(0^0=1)
(j-k=1)的时候，这个时候简单一点，就是等比数列不能用公式的情况，直接(=n+1)即可。
//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; typedef long long ll;
inline int qr(){
register int ret=0,f=0;
register char c=getchar();
while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
return f?-ret:ret;
}
namespace poly{
const int maxn=1<<21|1;
int r[maxn];
int savlen;
inline void getr(const int&len){
if(len==savlen) return;
int cnt=0;
for(register int t=1;t<len;t<<=1)++cnt;
for(register int t=1;t<len;++t)
r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1)<<cnt>>1;
}
const int mod=998244353;
const int g=3;
const int gi=332748118;
inline int ksm(const int&base,const int&p){
register int ret=1;
for(register int t=p,b=base%mod;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)
if(t&1) ret=1ll*ret*b%mod;
return ret;
}
inline void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
getr(len);
for(register int t=1;t<len;++t)
if(r[t]>t) swap(a[t],a[r[t]]);
int *a0,*a1,s=g;
if(tag!=1) s=gi;
for(register int t=1,wn;t<len;t<<=1){
wn=ksm(s,(mod-1)/(t<<1));
for(register int i=0;i<len;i+=t<<1){
a1=(a0=a+i)+t;
for(register int k=0,m,w=1;k<t;++k,++a1,++a0,w=1ll*w*wn%mod){
m=1ll*w**a1%mod;
*a1=(*a0+mod-m)%mod;
*a0=(*a0+m)%mod;
}
}
}
if(tag!=1)
for(register int t=0,w=ksm(len,mod-2);t<len;++t)
a[t]=1ll*a[t]*w%mod;
}
}
using namespace poly;
int jc[100005],inv[100005],bin[100005],n;
inline void pre(){
bin[0]=jc[0]=inv[0]=1;
for(register int t=1;t<=100000;++t)
jc[t]=1ll*jc[t-1]*t%mod;
inv[100000]=ksm(jc[100000],mod-2);
for(register int t=100000-1;t;--t)
inv[t]=1ll*(t+1)*inv[t+1]%mod;
for(register int t=1;t<=100000;++t)
bin[t]=(bin[t-1]<<1)%mod;
}
int a[maxn],b[maxn];
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.in","r",stdin);
#endif
pre();
n=qr();
for(register int t=0;t<=n;++t){
a[t]=inv[t];
if(t&1) a[t]=mod-a[t];
b[t]=1ll*(ksm(t,n+1)-1ll+mod)%mod*ksm(t-1,mod-2)%mod*inv[t]%mod;
}
b[0]=1;b[1]=n+1;
int k=1;
while(k<=n)k<<=1;
NTT(a,k<<1,1);NTT(b,k<<1,1);
for(register int t=0;t<k<<1;++t) a[t]=1ll*a[t]*b[t]%mod;
NTT(a,k<<1,-1);
int ans=0;
for(register int t=0;t<=n;++t)
ans=(ans+1ll*bin[t]*jc[t]%mod*a[t]%mod)%mod;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}