旋转矩阵是姿态的一种数学表达方式，或者笼统说变换矩阵是一种抽象的数学变量。其抽象在于当你看到数据，根本无法断定其正确性；往往只有转换为较为直观的欧拉角，然后大概目测估算（总不能拿着量角器去测量精度吧）。
我们知道，姿态的数学形式有旋转矩阵（满足RTR=E）、欧拉角、旋转向量（角轴）、四元数（norm(x y z w) = 1）等。今天这里要讨论的是旋转矩阵相关理论基础。
旋转矩阵常用于以下三种场景：
- 描述一个frame（坐标系）相对于另一个frame间的位姿；(如：描述相邻两帧间的相机运动)
- 描述一个point从一个frame变换到另一个frame；（其实点没动，只是在两个frame观测时，坐标不一样而已；如：；路标点点P在不同相机坐标系下坐标值不同，但在世界坐标系下是固定的）
- 描述一个point在同一个frame中的运动；（这里的点是运动了的，在VSLAM中应用较少）
绕三个轴的旋转矩阵请按以下形式进行记忆，可能有些地方是下面的转置形式。
（本博客和大多数论文资料一样，都是左乘原则）
一、固定旋转（Fix Angles）
所谓固定旋转，就是按照物体外部固定轴旋转。这种旋转在工程中很常见，用的相对多一些（相对于下面的欧拉旋转），例如：旋转次序为X-Y-Z，那么旋转矩阵的形式为：RZRYRX。如下图，其实没什么好说。
已知旋转矩阵，怎么求解欧拉角呢？下图便是一种比较好的求解办法。我们知道，顺时针旋转180°和逆时针旋转180°是等效的（让机械臂旋转190°其实是走远路，因为旋转170°似乎更快），所以求解出来的欧拉角其取值范围最好是：[0°，180°] or [0°，-180°] 或者[-90°，90°]，这里采用的后者。
下图中的atan2是matlab中的api，我们在这里简单验证下其与tan的区别：可以看到，当一个点在第三象限，如（-1， -1），在欧拉角中，其角度为：-135°，但是atan(-1/-1)算出来是45°，显然是错的。
1 >> atan(1) * 180 / pi 2 3 ans = 4 5 45 6 7 >> atan2(1, 1) * 180 / pi 8 9 ans = 10 11 45 12 13 >> atan2(-1, -1) * 180 / pi 14 15 ans = 16 17 -135 18 19 >>
顺在在这里用Eigen验证下：（相关头文件去这个链接中查找： https://www.cnblogs.com/winslam/p/12765822.html ）不去下载，下面C++代码你都跑不了
1 #include"geometry.h" 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 5 int main() 6 { 7 Eigen::Matrix3d R1; 8 R1 << 0.866, 0.433, 0.25, 0., 0.5, -0.866, -0.5, 0.75, 0.433; 9 10 Pose pose1(R1); 11 cout << "旋转矩阵 = " << endl; cout << pose1.rotation() << endl; 12 cout << "欧拉角 = " << endl; cout << pose1.euler_angle().transpose()*(180 / M_PI) << endl; 13 cout << "四元数 = " << endl; cout << pose1.quaternion().coeffs().transpose() << endl; 14 cout << "角轴 = " << endl; 15 cout << pose1.angle_axis().angle()* (180 / M_PI) << " " << pose1.angle_axis().axis().transpose() << endl; 16 cout << "-----------------------------" << endl; 17 return 1; 18 }
打印结果：
1 旋转矩阵 = 0.866 0.433 0.25 2 0 0.5 -0.866 3 -0.5 0.75 0.433 4 欧拉角 = 63.4349 14.4779 -26.5651 5 四元数 = 0.482959 0.224145 -0.129407 0.836511 6 角轴 = 66.4519 0.881411 0.409071 -0.23617
可以看到Eigen的欧拉角结果和上述PPT中Matlab计算的结果不一样，但是他们旋转矩阵具体是一样的，这个是正常的，下面还会碰到。其实就是利用欧式旋转矩阵求解
欧拉角的解并不唯一，这个问题在手眼标定中验证过。
二、欧拉旋转（Euler Angle）
固定旋转与欧拉旋转的关系，例如：固定旋转次序为:XYZ，写成旋转矩阵则为：Rz*Ry*Rx；其等效的欧拉旋转次序为：ZYX，写成旋转矩阵则为：Rz*Ry*Rx，最后的映射矩阵是一样的，但是过程不一样，殊途同归。）例如下面例子：
ZYZ的欧拉旋转次序，这个我是实际“体验过”，那是在自研机械臂上示教器是数据。
欧拉旋转的方式如下图：
形如固定旋转，我这里也给出：已经ZYZ类型欧拉旋转，求解欧拉角的一种方法：
针对上面等式
，这里用Eigen验证下：
对于等式左边：
1 #include"geometry.h" 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 5 int main() 6 { 7 // 低级错误：是60.0，不是60 8 Eigen::Matrix3d R1; 9 R1 = Eigen::AngleAxisd(60.0 / 180 * M_PI, Eigen::Vector3d::UnitX()) * 10 Eigen::AngleAxisd(30.0 / 180 * M_PI, Eigen::Vector3d::UnitY()) * 11 Eigen::AngleAxisd( 0.0, Eigen::Vector3d::UnitZ()); 12 13 Pose pose3(R1); 14 cout << "旋转矩阵 = " << endl; cout << pose3.rotation() << endl; 15 cout << "欧拉角 = " << endl; cout << pose3.euler_angle().transpose()*(180 / M_PI) << endl; 16 cout << "四元数 = " << endl; cout << pose3.quaternion().coeffs().transpose() << endl; 17 cout << "角轴 = " << endl; 18 cout << pose3.angle_axis().angle()* (180 / M_PI) << " " << pose3.angle_axis().axis().transpose() << endl; 19 cout << "-----------------------------" << endl; 22 return 1; 23 }
针对等式右边，同理有：
#include"geometry.h" #include<iostream> using namespace std; int main() { Eigen::Vector3d RPY; RPY << -56.3 / 180 * M_PI, 64.3 / 180 * M_PI, 73.9 / 180 * M_PI; cout << RPY(2, 0) << endl; Eigen::Matrix3d R2; // note: ZYZ R2 = Eigen::AngleAxisd(RPY(0, 0), Eigen::Vector3d::UnitZ()) * Eigen::AngleAxisd(RPY(1, 0), Eigen::Vector3d::UnitY()) * Eigen::AngleAxisd(RPY(2, 0), Eigen::Vector3d::UnitZ()); Pose pose4(R2); cout << "旋转矩阵 = " << endl; cout << pose4.rotation() << endl; cout << "欧拉角 = " << endl; cout << pose4.euler_angle().transpose()*(180 / M_PI) << endl; cout << "四元数 = " << endl; cout << pose4.quaternion().coeffs().transpose() << endl; cout << "角轴 = " << endl; cout << pose4.angle_axis().angle()* (180 / M_PI) << " " << pose4.angle_axis().axis().transpose() << endl; cout << "-----------------------------" << endl; return 1; }
对比两种旋转方式，可以看到Eigen计算的结果完全一致；但是比较有意思的是，对于下面，我用的欧拉角明明是( -56.3, 64.3, 73.9 )（ZYZ），结果打印输出的
欧拉角居然是(59.9, 29.99, 0.031)。这是由于我写的Pose类底层，我只定义了ZYX的固定旋转方式。同时，也说明了，同一个旋转矩阵，可能对应不同的旋转方式(如：欧拉旋转、固定旋转)，不同的旋转欧拉角、甚至不同的旋转次序
三、旋转矩阵小结
欧拉旋转和固定旋转的次序有效的排列组合为：12 = 3 * 2 * 2
姿态的数学形式有旋转矩阵（约束：RTR=E）、欧拉角（万向锁问题）、旋转向量（角轴）、四元数（约束norm(x y z w) = 1），所以VSLAM在对位姿进行优化的时候，
为了避免“带约束的优化”问题，一般都会采用旋转向量的形式作为姿态。
参考：
（台大机器人学之运动学——林沛群）
https://www.bilibili.com/video/BV1v4411H7ez?p=3
https://baike.baidu.com/item/%E6%97%8B%E8%BD%AC%E7%9F%A9%E9%98%B5/3265181?fr=aladdin#5
《jlblanco2010geometry3D_techrep.pdf》