[POJ2823] Sliding Window 「单调队列」

我们从最简单的问题开始：

给定一个长度为N的整数数列a(i)，i=0,1,...,N-1和窗长度k.

要求：

      f(i) = max{ a(i-k+1)，a(i-k+2),..., a(i) }，i = 0，1，...，N-1

问题的另一种描述就是用一个长度为k的窗在整数数列上移动，求窗里面所包含的数的最大值。

解法一：

很直观的一种解法，那就是从数列的开头，将窗放上去，然后找到这最开始的k个数的最大值，然后窗最后移一个单元，继续找到k个数中的最大值。

这种方法每求一个f(i),都要进行k-1次的比较，复杂度为O(N*k)。

那么有没有更快一点的算法呢？

解法二：

我们知道，上一种算法有一个地方是重复比较了，就是在找当前的f(i)的时候，i的前面k-1个数其它在算f(i-1)的时候我们就比较过了。那么我们能不能保存上一次的结果呢？当然主要是i的前k-1个数中的最大值了。答案是可以，这就要用到单调递减队列。

单调递减队列是这么一个队列，它的头元素一直是队列当中的最大值，而且队列中的值是按照递减的顺序排列的。我们可以从队列的末尾插入一个元素，可以从队列的两端删除元素。

1.首先看插入元素：为了保证队列的递减性，我们在插入元素v的时候，要将队尾的元素和v比较，如果队尾的元素不大于v,则删除队尾的元素，然后继续将新的队尾的元素与v比较，直到队尾的元素大于v,这个时候我们才将v插入到队尾。

2.队尾的删除刚刚已经说了，那么队首的元素什么时候删除呢？由于我们只需要保存i的前k-1个元素中的最大值，所以当队首的元素的索引或下标小于 i-k+1的时候，就说明队首的元素对于求f(i)已经没有意义了，因为它已经不在窗里面了。所以当index[队首元素]<i-k+1时，将队首元素删除。

从上面的介绍当中，我们知道，单调队列与队列唯一的不同就在于它不仅要保存元素的值，而且要保存元素的索引（当然在实际应用中我们可以只需要保存索引，而通过索引间接找到当前索引的值）。

为了让读者更明白一点，我举个简单的例子。

假设数列为：8，7，12，5，16，9，17，2，4，6. N=10，k=3.

那么我们构造一个长度为3的单调递减队列：

首先，那8和它的索引0放入队列中，我们用（8，0）表示，每一步插入元素时队列中的元素如下：

0：插入8，队列为：（8，0）

1：插入7，队列为：（8，0），（7，1）

2：插入12，队列为：（12，2）

3：插入5，队列为：（12，2），（5，3）

4：插入16，队列为：（16，4）

5：插入9，队列为：（16，4），（9，5）

..........依此类推

那么f(i)就是第i步时队列当中的首元素：8，8，12，12，16，16.......

Code

#include <cstdio>
#include<deque>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX_N=1e6+6;
int a[MAX_N];
deque<int> p, q;

int main() 
{
    int n, k;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
            while(!p.empty() && (a[p.back()]>a[i]) ) p.pop_back();
            p.push_back(i);
            if(i - p.front() == k) p.pop_front();
            if(i >= k) printf("%d ", a[p.front()]);
        }
    printf("
");
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
            while(!q.empty() && (a[q.back()]<a[i]) ) q.pop_back();
            q.push_back(i);
            if(i - q.front() == k) q.pop_front();
            if(i >= k) printf("%d ", a[q.front()]);
        }
}

if(i - q.front() == k) q.pop_front();
while(!p.empty() && (p.front()+k<=i) ) p.pop_front();
//在这里的作用一样的，只不过上面的看起来更简洁

---

附：

deque-双向队列的基本用法

q.front()    //返回第一个元素的引用。
q.back()    //返回最后一个元素的引用。
q.pop_back()    //删除尾部的元素。不返回值。
q.pop_front()    //删除头部元素。不返回值。
q.push_back(e)    //在队尾添加一个元素e。
q.push_front(e)    //在队头添加一个元素e。