？？？看不懂的期望DP
题目描述
小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。
他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已经多年没写过代码，连 Spaly 都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一下当欧洲人是怎样的体验。
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。
玩家有一套卡牌，共 (n) 张。游戏时，玩家将 (n) 张卡牌排列成某种顺序，排列后将卡牌按从前往后依次编号为 (1sim n)。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 (i) 张卡牌的技能发动概率为 (p_i)，如果成功发动，则会对敌方造成 (d_i) 点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因素以及小 K 非洲血统的考虑，(p_i) 不会为 0，也不会为 1，即 (0<p_i<1)。
一局游戏一共有 (r) 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：
- 如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则
1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）； 否则（是最后一张），结束这一轮游戏。- 否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 (i) 张。
2.1 将其以 (p_i) 的概率发动技能。
2.2 如果技能发动，则对敌方造成 (d_i) 点伤害，并结束这一轮。
2.3 如果这张卡牌已经是最后一张（即 (i) 等于 (n)），则结束这一轮；否则，考虑下一张卡牌。请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。
输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 (T)，代表测试数据组数。
接下来一共 (T) 组数据。
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 (n) 和 (r)，分别代表卡牌的张数和游戏的轮数。
接下来 (n) 行，每行包含一个实数和一个整数，由空格隔开，描述一张卡牌。第 (i) 行的两个数为 (p_i) 和 (d_i)，分别代表第 (i) 张卡牌技能发动的概率（实数）和技能发动造成的伤害（整数）。保证 (p_i) 最多包含四位小数，且为一个合法的概率。
输出格式
对于每组数据，输出一行，包含一个实数，为这套卡牌在这一局游戏中造成的伤害的期望值。
对于每一行输出，只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过 (10^{-8}) 时——即 (frac{|a-o|}{a}le 10^{-8}) 时 (其中 (a) 是标准答案，(o) 是输出)，你的输出才会被判为正确。建议输出十位小数。
输入输出样例
输入样例：
1 3 2 0.5000 2 0.3000 3 0.9000 1输出样例：
3.2660250000样例解释：
一共有 (13) 种可能的情况：
- 第一轮中，第 (1) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 (2) 张卡牌发动技能；概率为 (0.15)，伤害为 (5)。
- 第一轮中，第 (1) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 (3) 张卡牌发动技能；概率为 (0.315)，伤害为 (3)。
- 第一轮中，第 (1) 张卡牌发动技能；第二轮不发动技能；概率为 (0.035)，伤害为 (2)。
- 第一轮中，第 (2) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 (1) 张卡牌发动技能；概率为 (0.075)，伤害为 (5)。
- 第一轮中，第 (2) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 (3) 张卡牌发动技能；概率为 (0.0675)，伤害为 (4)。
- 第一轮中，第 (2) 张卡牌发动技能；第二轮不发动技能； 概率为 (0.0075)，伤害为 (3)。
- 第一轮中，第 (3) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 (1) 张卡牌发动技能；概率为 (0.1575)，伤害为 (3)。
- 第一轮中，第 (3) 张卡牌发动技能；第二轮中，第 (2) 张卡牌发动技能；概率为 (0.04725)，伤害为 (4)。
- 第一轮中，第 (3) 张卡牌发动技能；第二轮不发动技能； 概率为 (0.11025)，伤害为 (1)。
- 第一轮不发动技能；第二轮中，第 (1) 张卡牌发动技能； 概率为 (0.0175)，伤害为 (2)。
- 第一轮不发动技能；第二轮中，第 (2) 张卡牌发动技能； 概率为 (0.00525)，伤害为 (3)。
- 第一轮不发动技能；第二轮中，第 (3) 张卡牌发动技能； 概率为 (0.011025)，伤害为 (1)。
- 第一轮不发动技能；第二轮亦不发动技能； 概率为 (0.001225)，伤害为 (0)。
造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和，为 (3.266025)。
数据范围与约定
对于所有测试数据， (1le Tle 444, 1le nle 220, 0le rle 132, 0<p_i<1, 0le d_ile 1000)。
除非备注中有特殊说明，数据中 (p_i) 与 (d_i) 均为随机生成。
请注意可能存在的实数精度问题，并采取适当措施。
题解：
首先，如果直接一轮一轮地进行期望推导，会发现前面有冲突的情况。枚举第 (i) 轮第 (j) 张卡时既要保证前 (i-1) 轮都没有发动过第 (j) 张卡，又要保证第 (i) 轮没有发动过前 (j-1) 张卡，再乘 (p_i) 算概率。但是这样怎么算都算不对，其实感觉也是一个“意识”调题的过程吧，反正最终把样例调到 (3.21) 左右发现概率对不上（样例解释），于是还是放弃了。
因此考虑建立无后效性的dp方程。因为需要满足 “如果发动了当前的卡”，那么就停止本轮，所以方程需要和前缀有关。令 (f[i][j]) 表示在所有的 (r) 轮里，前 (i) 张卡有 (j) 个发动了的概率。此时对于任意的第 (k) 张卡就可以用 (f[k-1]) 有关的数据推出来了。
考虑状态转移方程，对于 (f[i][j])，可以从 (f[i-1][j-1]) 或 (f[i-1][j]) 推过来。当从 (f[i-1][j]) 推过来时，表示第 (i) 张整场都没有发动，因此 (f[i-1][j]) 的贡献为 (f[i-1][j] imes (1-p_i)^{r-j})。
其中 ((1-p_i)^{r-j}) 表示在全部 (r) 轮中，由于在前 (i-1) 个中钦定了 (j) 个，占用了 (j) 轮，剩下的 (r-j) 轮中每次都没有发动第 (i) 张卡。
同时，为了便于理解，当我们dp做到 (f[i]) 时，如果认为第 (i) 张卡为此时的第一张卡，剩下的 (r-j) 轮里就只能选择下标为 ([i,n]) 的卡了。此时第 (i) 张卡的发动不受前 (i-1) 张的限制。
当从 (f[i-1][j-1]) 推过来时（首先要满足 (j>0)），表示第 (i) 张被发动了，正难则反，被发动的概率就是用 (1) 减去没有被发动的概率。而没有被发动的概率在上文中被提到了，是 ((1-p_i)) 的幂。此时由于只钦定了 (j-1) 张卡发动，所以指数为 (r-j+1)。因此 (f[i-1][j-1]) 的贡献为 (f[i-1][j-1] imesleft(1-(1-p_i)^{r-j+1} ight))。
然后可以依次求出所有的 (f)，此时我们再根据 (f) 推出每张卡被发动的概率 (P_i)。
仿照上面 (f[i-1][j-1] o f[i][j]) 的过程，我们可以直接算出
答案是对每个 (P_i) 乘上伤害值 (d_i)。
对每个 ((1-p_i)) 预处理幂后，时间复杂度为 (O(nTr))。
Code：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define db double
db f[233][233],p[233];
db q[233][233];//q[i][j]表示(1-p[i])^j
int d[233];
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,r;
scanf("%d%d",&n,&r);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
q[i][0]=1;
for(int j=1;j<=233;++j)
q[i][j]=q[i][j-1]*(1-p[i]);
}
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=i&&j<=r;++j)
{
f[i][j]=j?f[i-1][j-1]*(1-q[i][r-j+1]):0;
f[i][j]+=f[i-1][j]*q[i][r-j];
}
db ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<i&&j<r;++j)
ans+=d[i]*(f[i-1][j]*(1-q[i][r-j]));
printf("%.10lf
",ans);
}
return 0;
}