好玩的推式子
题目描述
曾经发明了脑洞治疗仪与超能粒子炮的发明家 SHTSC 又公开了他的新发明:超能粒子炮・改——一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。
超能粒子炮・改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升。它有两个参数 (n)、(k),它会向每个编号为 (0) 到 (k)(包含两端)的位置 (i) 发射威力为 (mathrm{C}_n^i mod 2333) 的粒子流。
现在 SHTSC 给出了他的超能粒子炮・改的参数,让你求出其发射的粒子流的威力之和除以 (2333) 所得的余数。
输入格式:
第一行一个整数 (t) 表示数据组数。
之后 (t) 行,每行两个整数 (n)、(k),含义如题面描述。输出格式:
(t) 行,每行一个整数,表示其粒子流的威力之和模 (2333) 的值。
输入输出样例
输入样例:
3 5 5 10 7 1145 14
输出样例:
32 968 763
数据范围与约定
对于 (10\%) 的数据,(t=1),(n,kle 1000);
对于 (30\%) 的数据,(t=1),(n,kleq 1000000);
对于 (50\%) 的数据,(t=1),(nle 10^{18},kle 1000);
对于 (70\%) 的数据,(tle 100),(n,kle 10^{18});
对于 (100\%) 的数据,(tle 100000),(n,kle 10^{18})。
题解:
注:本文中所有的除法 (/) 都向下取整,所有的百分号 (\%) 都表示取模。
这个题求的是 (sum_{i=0}^kmathrm{C}_n^imod 2333)。但是模数是 (2333) 因此可以考虑 Lucas 定理,即 (mathrm{C}_n^m\% p=mathrm{C}_{n\% p}^{m\% p}mathrm{C}_{n/p}^{m/p})。
我们把上面的和式推导一下,则为
然后我们发现,整个过程中 (n/2333) 和 (n\% 2333) 是不变的。只需要关注 (i/2333) 和 (i\%2333) 的变化规律。
而对于连续的 (iin[2333k,2333k+2333)) 它们的 (i/2333) 是相同的,(i\%2333in[0,2333)),所以我们把需要求和的 (k) 个数分成 (leftlceilfrac{k}{2333} ight ceil) 段。其中前 (leftlfloorfrac{k}{2333} ight floor) 段一定是完整的,因此可以表示为
对于加号后面的式子,(i/2333=0),所以是对后面一个式子求和,因此可以用杨辉三角预处理,并求出前缀和,(O(1)) 解决。
对于中间一个式子 (sum_{i=0}^{2332}mathrm{C}_{n\%2333}^i) ,因为 (n\%2333<2333) ,同理用杨辉三角。
令
则原式为
对于剩下的一个式子,又转化为了一个求和的子问题,因此我们递归解决。递归的边界是 (k<2333)。
因此可以在 (2333^2+O(tlog k)) 的时间复杂度内解决这个问题。
Code:
#include<cstdio>
#define ll long long
ll C[2333][2333];
ll calc(ll n,ll t)//0~t的C_n^t
{
ll ans=0,p=n%2333;
if(t/2333)
ans=C[p][p]*calc(n/2333,t/2333-1)%2333;
else
return C[p][t%2333];
ll a=n/2333,b=t/2333,tmp=1;
while(a>=2333||b>=2333)
{
if(b%2333)
tmp=tmp*(C[a%2333][b%2333]-C[a%2333][b%2333-1]+2333)%2333;
a/=2333,b/=2333;
}
if(b)
tmp=tmp*(C[a][b]-C[a][b-1]+2333)%2333;
ans=(ans+C[p][t%2333]*tmp)%2333;
return ans;
}
int main()
{
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=2332;++i)
{
C[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;++j)
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%2333;
}
for(int i=0;i<=2332;++i)
for(int j=1;j<=2332;++j)
C[i][j]=(C[i][j-1]+C[i][j])%2333;
int T;
ll n,k;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
printf("%lld
",calc(n,k));
}
return 0;
}