多源最短路——Floyd算法

Floyd算法

 问题的提出：已知一个有向网（或者无向网），对每一对定点vi!=vj，要求求出vi与vj之间的最短路径和最短路径的长度。

解决该问题有以下两种方法：

（1）轮流以每一个定点为源点，重复执行Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法n次，就可以求出每一对顶点之间的最短路径和最短路径的长度，总的时间复杂度为O(n^3)。

（2）采用Floyd算法，时间复杂度也是O(n^3)，但是形式更为直接。

1.介绍

　　floyd算法只有五行代码，代码简单，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)，可以求多源最短路问题。

2.思想：

　　Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当我们遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

举个例子：已知下图，

　　如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环，代码实现如下。

for(i=1; i<=n; i++)
{
    for(j=1; j<=n; j++)
    {
        if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] )
            e[i][j] = e[i][1]+e[1][j];
    }
}

接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代码实现为如下。

//经过1号顶点
for(i=1; i<=n; i++)
    for(j=1; j<=n; j++)
        if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j]) 
            e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];
//经过2号顶点
for(i=1; i<=n; i++)
    for(j=1; j<=n; j++)
        if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j])  
            e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];

最后允许通过所有顶点作为中转，代码如下：

  for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                {
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                }
            }
        }
    }

这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。与上面相同

3.代码模板：

#include <stdio.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int map[1000][1000];
int main()
{
    int k,i,j,n,m;///n表示顶点个数，m表示边的条数
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=1; i<=n; i++)///初始化
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(i==j)
                map[i][j]=0;
            else
                map[i][j]=inf;
        }
    }
    int a,b,c;
    for(i=1; i<=m; i++)///有向图
    {
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        map[a][b]=c;
    }
    for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            for(j=1; j<=n; j++)
            {
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                {
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                }
            }
        }
    }
    for(i=1; i<=n; i++)///输出最终的结果,最终二维数组中存的即使两点之间的最短距离
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            printf("%10d",map[i][j]);
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}