部分摘自这位大佬的博客https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5207730.html
生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。 最早提出母函数的人是法国数学家LaplaceP.S.在其1812年出版的《概率的分析理论》中明确提出“生成函数的计算”。 生成函数的应用简单来说在于研究未知（通项）数列规律，用这种方法在给出递推式的情况下求出数列的通项。
在这里我们不去高深地研究数学上母函数，而是讲讲简单的母函数应用。
1.母函数引入
就是把一个已知的序列和x的多项式合并起来，新产生的多项式就叫原来序列的母函数
序列{0,1，2，3，4，5...n}的母函数就是
f(x)=0+x+2x^2+3x^3+4x^4+...+nx^n（这个x没有任何意义，应该说，你不需要把它当做一个函数，你只要知道母函数这么写就可以了）
序列{1,1,1,1,1......}的母函数就是
f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4....
二项式展开的序列比如这个{1,4,6,4,1,0,0,0,0,0.....}是C(4,0)到C(4,4)的系数，那它的母函数就是
f(x)=1+4x+6x^2+4x^3+1x^4
这些东西对于我们来说并没有说明意义，母函数对我们来说只是一个工具，是一个载体，那来看看母函数是怎么样装载数据的吧！
例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？
假如x的指数表示砝码
那么
1克的砝码表示为1+x^1
2克的砝码表示为1+x^2
3克的砝码表示为1+x^3
4克的砝码表示为1+x^4
每个砝码都可以选择取或不取
所以这里的1可以认为1*x^0，表示不取这颗砝码
那么把这些乘起来
(1+x^1)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=1+(x^1)+(x^2)+2(x^3)+2(x^4)+2(x^5)+2(x^6)+2(x^7)+(x^8)+(x^9)+(x^10)
根据指数来看，我们可以称出0~10这么多的重量，其中3~7的系数为2，说明有2种称的方法
那么我们来细看一遍
0：（什么砝码都不放）.......................（1种）
1：1.............................................（1种）
2：2.............................................（1种）
3：3或1+2.....................................（2种）
4：4或1+3.....................................（2种）
5：1+4或2+3.................................（2种）
6：2+4或1+2+3..............................（2种）
7：3+4或1+2+4..............................（2种）
8：1+3+4......................................（1种）
9：2+3+4......................................（1种）
10：1+2+3+4.................................（1种）
分毫不差
所以说母函数在ACM就是这么用的，跟函数没关系，跟写法有关系。
例2：求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数，每种邮票可以有无限张。
因邮票允许重复，故母函数为：
对于这种连续相乘，我们人类是很讨厌的，但对于计算机这种重复运算是很轻松的，我们只要将我们解多项式的思路带进去即可。
2.代码说明
我们首先知道对于最后得到的那一个母函数，系数代表的是方案数，而指数代表的是组成的数值，运算过程就是多项式的乘法。而两个多次方程的乘法，运算无非是系数相乘，指数相加，仅仅是这个方程的两个信息的运算。那能不能用什么数据结构直接表示出一个对象的这个两个信息呢？首先想到的可能是结构体，结构体可以用来表示一个对象的多个信息，但是运算繁琐；其实用数组就可以了，下标代表组成的数值，数组取值代表方案数！！！
a.求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：（每张邮票的数量是无限的）
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #define MAX 310 6 int a[MAX];///最终合并的多项式 7 int b[MAX];///临时合并用的多项式 8 int n; 9 const int N=110; 10 using namespace std; 11 void init() 12 { 13 int i,j,k; 14 a[0]=1;///一开始的0的情况 15 for (i=1; i<=3; i++)///代表1分,2分,3分三个多项式的合并 16 { 17 for (j=0; j<N; j+=i)///i分的邮票,步长为i 18 { 19 for (k=0; k+j<N; k++)///从x^0到x^N遍历一遍 20 { 21 b[j+k]+=a[j];///核心 22 } 23 } 24 for (j=0; j<N; j++)///b中数据抄到a,b清空 25 { 26 a[j]=b[j]; 27 b[j]=0; 28 } 29 } 30 } 31 int main() 32 { 33 int i,j,k; 34 init(); 35 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 36 { 37 printf("%d ",a[n]); 38 } 39 return 0; 40 }
b.hdu 1028
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
题目问一个数字n能够拆成多少种数字的和
比如n=4
4 = 4;
4 = 3 + 1;
4 = 2 + 2;
4 = 2 + 1 + 1;
4 = 1 + 1 + 1 + 1;
有5种，那么答案就是5
其实这个题就可以转换成使用1~N个数，每个数可以多次使用，能组成的数有多少种方案？
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #define MAX 130 6 #define N 130 7 #define ll long long int 8 ll a[MAX]; 9 ll b[MAX]; 10 int n; 11 using namespace std; 12 void init() 13 { 14 int i,j,k; 15 a[0]=1; 16 for (i=1; i<=MAX; i++) 17 { 18 for (j=0; j<N; j+=i) 19 { 20 for (k=0; k+j<N; k++) 21 { 22 b[j+k]+=a[k]; 23 } 24 } 25 for (j=0; j<N; j++) 26 { 27 a[j]=b[j]; 28 b[j]=0; 29 } 30 } 31 } 32 int main() 33 { 34 init(); 35 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 36 { 37 printf("%lld ",a[n]); 38 } 39 return 0; 40 }
c.hdu 1398
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398
题目说一个国家的硬币都是方形的，面值也是方形的
有1块钱，4块钱，9块钱，16块钱......一直到289块钱（17^2）
问想组成n块钱有几种方法
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #define ll long long int 6 #define MAX 17 7 #define N 305 8 using namespace std; 9 ll a[N]; 10 ll b[N]; 11 void init() 12 { 13 int i,j,k; 14 a[0]=1; 15 for (i=1; i<=MAX; i++) 16 { 17 for (j=0; j<N; j+=i*i) 18 { 19 for (k=0; k+j<N; k++) 20 { 21 b[j+k]+=a[k]; 22 } 23 } 24 for (j=0; j<N; j++) 25 { 26 a[j]=b[j]; 27 b[j]=0; 28 } 29 } 30 } 31 int main() 32 { 33 int n; 34 init(); 35 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 36 { 37 if(n==0) 38 { 39 break; 40 } 41 printf("%lld ",a[n]); 42 } 43 return 0; 44 }