摘自爱国师哥博客https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7665946.html
代码部分摘自《图论算法》
一、概念：
二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
在图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
二、算法：
求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。
只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。
给一个例子
1、起始没有匹配
2、选中第一个x点找第一跟连线 
3、选中第二个点找第二跟连线 
4、发现x3的第一条边x3y1已经被人占了，找出x3出发的的交错路径x3-y1-x1-y4，把交错路中已在匹配上的边x1y1从匹配中去掉，剩余的边x3y1 x1y4加到匹配中去 
5、同理加入x4,x5。
匈牙利算法可以深度有限或者广度优先，刚才的示例是深度优先，即x3找y1,y1已经有匹配，则找交错路。若是广度优先，应为：x3找y1,y1有匹配，x3找y2。
匈牙利算法的要点如下
- 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
- 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
- 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
- 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用
prev数组。
补充定义和定理：
(1)二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。
Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。
(2)DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）
(3)二分图的最大独立集
最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值
结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）
代码：
1.DFS增广
采用DFS思想搜索可增广路并求出最大匹配的代码如下：
1 #define MAXN 10 2 int nx,ny;///x,y集合中点的个数 3 int maps[MAXN][MAXN];///邻接矩阵 4 int cx[MAXN],cy[MAXN];///cx[i]表示最终求得的最大匹配中与xi匹配的Y节点 5 int vis[MAXN];///顶点访问状态数组，1访问过，0未访问过 6 int path(int u) 7 { 8 int v; 9 for(v=0; v<ny; v++) 10 { 11 if(maps[u][v]&&!vis[v])///u与v邻接并且未被访问过 12 { 13 vis[v]=1;///访问v 14 ///v没有匹配或者v已经匹配了，但从cy[v]出发可以找到一条增光路 15 if(!cy[v]||path(cy[v]))///如果前一个条件成立则不会调用递归 16 { 17 cx[u]=v;///把v匹配给u 18 cy[v]=u;///把u匹配个v 19 return 1; 20 } 21 } 22 } 23 return 0;///不存在从u出发的增广路 24 } 25 int MaxMatch() 26 { 27 int res=0;///所求得的最大匹配 28 int i; 29 memset(cx,0,sizeof(cx)); 30 memset(cy,0,sizeof(cy));///初始化为0 31 for(i=0; i<=nx; i++) 32 { 33 memset(vis,0,sizeof(vis)); 34 if(path(i))///从未盖点出发寻找增广路 35 { 36 res++; 37 } 38 } 39 return res; 40 }
DFS增广特点：
（1）优点：实现简洁，容易理解。
（2）适用：稠密图，由于边很多，DFS找增广路很快。
（3) 复杂度：O（n^3）。
2.BFS增广
采用BFS思想搜索可增广路并求出最大匹配的代码如下：
1 #define MAXN 10 2 int nx,ny;///x,y集合中点的个数 3 int maps[MAXN][MAXN];///邻接矩阵 4 int cx[MAXN],cy[MAXN];///cx[i]表示最终求得的最大匹配中与xi匹配的Y节点 5 int pred[MAXN];///用来记录交错轨，同时也用来记录Y集合中的顶点是佛遍历过 6 int queue[MAXN];///数组模拟的队列 7 int MaxMath() 8 { 9 int i,j,y; 10 int cur,tail;///表示队列头和尾位置的下标 11 int res=0;///所求得的最大匹配数 12 memset(cx,0,sizeof(cx)); 13 memset(cy,0,sizeof(cy)); 14 for(i=0;i<nx;i++) 15 { 16 if(!cx[i]) 17 { 18 continue; 19 } 20 ///对X集合中每一个未盖点i进行一次BFS找交错轨 21 for(j=0;j<ny;j++) 22 { 23 pred[j]=-2;///-2为初始值 24 } 25 cur=tail=0; 26 for(j=0;j<ny;j++)///把i的邻接点入队列 27 { 28 if(maps[i][j]) 29 { 30 pred[j]=-1;///-1表示遍历到了，是邻接顶点 31 queue[tail++]=j; 32 } 33 } 34 while(cur<tail) 35 { 36 y=queue[cur]; 37 if(!cy[y])///找到了一个未被匹配的点，则找到了一条增广路 38 { 39 break; 40 } 41 cur++; 42 ///y已经匹配给了cy[y]了,从cy[y]出发，将它的邻接顶点入队列 43 for(j=0;j<ny;j++) 44 { 45 if(pred[j]==-2&&maps[cy[y]][j]) 46 { 47 pred[j]=y; 48 queue[tail++]=j; 49 } 50 } 51 } 52 if(cur==tail)///没有找到交错轨 53 { 54 continue; 55 } 56 while(pred[y]>-1)///更改交错轨上的匹配状态 57 { 58 cx[cy[pred[y]]]=y; 59 cy[y]=cy[pred[y]]; 60 y=pred[y]; 61 } 62 cy[y]=i; 63 cx[i]=y; 64 res++;///匹配数+1 65 } 66 return res; 67 }
再给出一个直接调用队列的代码：
1 int nx,ny;///x,y集合中点的个数 2 int maps[MAXN][MAXN];///邻接矩阵 3 int cx[MAXN],cy[MAXN];///cx[i]表示最终求得的最大匹配中与xi匹配的Y节点 4 int pre[MAXN];///x每一个点的上一个节点 5 int vis[MAXN];///标志一个点在找增广路的同时是否被访问过 6 int MaxMatch() 7 { 8 int i,j,y; 9 int res=0;///所求得的最大匹配数 10 memset(cx,0,sizeof(cx)); 11 memset(cy,0,sizeof(cy)); 12 memset(vis,0,sizeof(vis)); 13 for(i=1; i<=nx; i++) 14 { 15 if(!cx[i]) 16 { 17 queue<int>q; 18 q.push(i); 19 pre[i]=-1; 20 int flag=0;///标志是否找到了增广路 21 while(!q.empty()&&!flag) 22 { 23 int u=q.front(); 24 q.pop(); 25 for(int v=1; v<=ny&&!flag; v++) 26 { 27 if(maps[u][v]&&vis[v]!=i) 28 { 29 vis[v]=i; 30 q.push(cy[v]);///将于y匹配的x点放入队列 31 if(cy[v]!=0)///没有增广路 32 { 33 pre[cy[v]]=u;///记录x点的顺序 34 } 35 else///找到增广路 36 { 37 flag=1; 38 int d=u,e=v; 39 while(d!=-1)///将原来匹配的边去掉加入原来不在匹配中的边 40 { 41 int t=cx[d]; 42 cx[d]=e; 43 cy[e]=d; 44 d=pre[d]; 45 e=t; 46 } 47 } 48 } 49 } 50 } 51 if(cx[i]!=0)///新增一个匹配的边 52 { 53 res++; 54 } 55 } 56 } 57 return res; 58 }
BFS增广特点：
（1）适用：稀松二部图，边少，增广路短。
（2）时间复杂度:O(n^3)。