概率论中指数分布的应用

HDU5015（北京网络赛题目）

题目大意：

Matt去发快递，快递点有N个职员，职员处理一个客户的时间服从指数分布：f(t)=λe−λt,其中的参数λ为职员的效率，现在给出每个职员的效率，同时给了一个场景：现在每个职员都有且只有客户在服务中，此人还从信息牌得知了每个职员已经为当前客户服务了c时间，题目中也给出了，一旦有客户被服务完毕，则这个人就立刻去接受服务。问在此场景下，这个人发快递需要的时间的期望是多少？

 

解析：

首先几何分布的一些性质： 
一个几何分布的概率密度函数是： 

f(xλ)={λe−λx0,x≥0,,x<0.

概率分布函数为： 

F(xλ)={1−e−λx0,x≥0,,x<0.

指数分布具有“无记忆性”，如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循： 

P(T>s+t|T>t)=P(T>s)for all s,t≥0.

然后分析该题目，利用指数分布的无记忆性可以知道，如t0时刻,第i个职员第一个服务完当前客户，那么接着就会服务Matt，然后服务完Matt。这个过程时间的期望就是我们要求的结果。 
因此我们要求的就是： 

∑i=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠i(∫+∞xf(x:λj)dx)dx

解释下上面长长的式子： 
第i个职员t时刻接待Matt的概率为λie−λi(此时第i个结束时间为t的概率)，乘上∏j≠i∫+∞xf(x:λj)dx（其它职员结束时间大于t的概率))；而这种情况下的时间为(E(Xi)+t) 
t可以从0一直取到+∞，把所有的职员按照上面的情况分析一边，就有了上面的那个式子了。由于指数分布的无记忆性，可以知道题目中给的已服务时间实际上是没有用的…… 
剩下的就是一些化简计算了， 

∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠i(∫+∞xf(x:λj)dx)dx=∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−λi∏j≠ieλjdx=∑k=1N∫+∞0(E(Xi)+x)λie−∑Ni=1λidx=∑k=1N(1∑Ni=1λi+λi(∑Ni=1λi)2)=N+1∑Ni=1λi

有了这个公式代码应该是不难写，不过要注意这题数据比较多，cin或许或TLE～

这题是一道概率论的原题，可是比赛的时候看题都用了半天，最后还是没有过掉

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5035

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=1000+10;
double a[maxn],c[maxn];
int main()
{
    int n,t;
    scanf("%d",&t);
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        scanf("%d",&n);
        double sum=0.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf",&a[i]);
            sum+=a[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf",&c[i]);
        printf("Case #%d: %.6lf
",cas,(n+1.0)/sum);
    }
    return 0;
}