区间动归

石子合并

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分析：dp[i][j]表示从i顺时针数j个位置的最大值，规划方向是顺推，初始时dp[i][i]=0。显然，我们需要求出合并个数为2，3，，，，n的情况，对于dp[i][j]我们假设最后一次合并位置为k,dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i,j],因为sum[i,j]表示i到j这段和，跟k取的位置无关，由此可以得到dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])，最大值同理

#include "iostream"
#include "cstdio"
#include "cstring"
#include "string"
using namespace std;
const int maxn=200+10;
const int INF=1<<30;
int f[maxn][maxn]; //max
int dp[maxn][maxn]; //min
int sum[maxn],a[maxn];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        sum[i]=sum[n]+sum[i-n];
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        for(int j=1;j<=2*n;j++)
            dp[i][j]=INF;
    for(int i=1;i<=2*n;i++)  dp[i][i]=0;
    for(int l=1;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=2*n-l;i++){
            int j=i+l;
            for(int k=i;k<j;k++){
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int l=1;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=2*n-l;i++){
            int j=i+l;
            for(int k=i;k<j;k++){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    }
    int cnt=0,ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cnt=max(f[i][i+n-1],cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=min(dp[i][i+n-1],ans);
    cout<<ans<<endl<<cnt<<endl;
}

能量项链

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分析：dp[i][j]表示i到j这段区间的最大值，我们需要枚举从哪个点切分，但是注意一个问题，对于一次获得能量，我们所需要用到的是a[i]和a[i+1]的值，所以可以得到状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]*a[k+1]*a[j+1]))

#include "iostream"
#include "cstdio"
#include "cstring"
#include "string"
using namespace std;
const int maxn=200+10;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int n;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        a[i+n]=a[i];
    }
    for(int l=1;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=2*n-l;i++){
            int j=i+l;
            for(int k=i;k<j;k++){
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]*a[k+1]*a[j+1]));
            }
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cnt=max(cnt,dp[i][i+n-1]);
    cout<<cnt<<endl;
}

数字游戏

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分析：dp[i][j][z]表示区间[i,j]被分成z段的最大值，故dp[i][j][z]=max(dp[i][j][z],dp[i][k][z-1]*dp[k+1][j][1])，最小值同理

#include "iostream"
#include "cstdio"
#include "cstring"
#include "string"
using namespace std;
const int maxn=100+10;
const int INF=1<<30;
int n,m;
int a[maxn],sum[maxn];
int dp[maxn][maxn][20];  //max
int f[maxn][maxn][20];  //min
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
        sum[i]=sum[n]+sum[i-n];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        for(int j=1;j<=2*n;j++)
            for(int z=1;z<=m;z++)
                f[i][j][z]=INF;
    for(int i=1;i<=2*n;i++){
        for(int j=1;j<=2*n;j++){
            dp[i][j][1]=sum[j]-sum[i-1];
            f[i][j][1]=sum[j]-sum[i-1];
            while(dp[i][j][1]<0) dp[i][j][1]+=10;
            dp[i][j][1]%=10;
            while(f[i][j][1]<0)  f[i][j][1]+=10;
            f[i][j][1]%=10;
        }
    }
    for(int l=1;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=2*n-l;i++){
            int j=i+l;
            for(int k=i;k<j;k++){
                for(int z=2;z<=m;z++)
                    dp[i][j][z]=max(dp[i][j][z],dp[i][k][z-1]*dp[k+1][j][1]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        for(int z=2;z<=m;z++)
            f[i][i][z]=0;
    for(int l=1;l<=n;l++){
        for(int i=1;i<=2*n-l;i++){
            int j=i+l;
            for(int k=i;k<j;k++){
                for(int z=2;z<=m;z++)
                    f[i][j][z]=min(f[i][j][z],f[i][k][z-1]*f[k+1][j][1]);
            }
        }
    }
    int cnt=0,ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cnt=max(dp[i][i+n-1][m],cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=min(f[i][i+n-1][m],ans);
    cout<<ans<<endl<<cnt<<endl;
}