递归

做了一段时间的题，越来越感觉想明白递归这件事真的很重要，而且这件事并不是一两天就可以彻底明白所有题目，所有种递归。

学递归更多是通过不断训练，日积月累形成这种递归的思维，因为迭代、递推是与我们正常运算思维相同的，而递归是完全相反的。

比如算阶乘这件事，n！=1*2*3*……*n一般想到的都是从1*2开始算起，再用结果依次向后乘。这是迭代。

而递归怎么算？递归是想，我要算n的阶乘我直接用算式前边（n-1）！的结果乘n就好了。

而（n-1）！该怎么算？那我把（n-2）！结果乘n-1就好了。

……

以此类推，最后一直道2！=1*2无法再分解了；然后再将结果逐层返回。这是递归。

为什么我们思维更习惯迭代？

按照上面的例子顺理成章的想，主因是我们懒，原因如下：

用迭代时，我的想法是只算1*2=2；然后再取后边一个数，再算2*3=6……这样每次只要存一个数，取一个数再做一次运算。

用递归时，造成你我想到n！=（n-1）！*n就烦的是什么？是因为对你来说，（n-1）！他就是个未知数，所以要求他就得再往上找。但是这个n他就要记住，到了下一层时n-1这个数也要记……直道最后一层，1*2=2了；才能返回去前一层做上一次的的运算，当然前提是你得记住前一层的状态。

因为这个简单例子里边都是有序的，差别并不大，但是做其他的递归时，可能涉及到其他许多变量或者说事儿的状态要存储，而我们习惯于能记得多简，就记得多简。

这样大脑思考和运算的感觉更轻松。而且大多的递归都能通过迭代做到（不讨论优劣）。所以我们本能的讨厌递归这种思维，而偏爱迭代。

在算法上更是如此，所以新手碰到递归时一般都不太愿意去做orz。长久以后会发现根本写不好递归，或者说对递归这件事都是畏惧心理，那就完蛋了。

那怎么去学递归？（以下观点纯属个人感觉，走火入魔，后果自负）

①：我觉得首先得建立对 递归的感觉——它是对的，是严谨正确的。

这一点用类似数学归纳法就可以证明

https://www.cnblogs.com/LiCheng-/p/8206444.html这位兄弟有现成的。

思路也比较简单。用Paul Graham的话来理解

1. 当n=0, 1的时候, 结果正确.
2. 假设函数对于n是正确的, 函数对n+1结果也正确.
   如果这两点是成立的，我们知道这个函数对于所有可能的n都是正确的。

另外，我认为所有递归和迭代都可以借助栈或存储空间来互相改写（不考虑改写后效率），所以可以理解为用迭代可以实现的，用正确的递归肯定也能正确实现。（这点有待考察）

②：多写多练，形成一种思维好像没有更好的方式了，怎么绕不开练习，多写代码多想，这个方法简单粗暴好用！

如何写递归？递归有套路吗？

写递归到是有固定的几点。固定套路真的还没发现orz，真是什么样的递归都有。

不过写的时候注意这几点肯定没错：

①：我这个算法用递归到底对不对->是不是对于所有情况都能用相同方式拆分成子问题？是不是求解方式适用于所有情况？

②：写主函数时先写大体框架，用自顶向下的方法写（这是刘汝佳说的）。

③：要时刻记得把所有情况都想清楚：一般情况，特殊情况1，特殊情况2,……，一定要做到严谨，所有情况下算法都正确。

④：递归边界（基）一定要明确且正确。

关于递归函数的返回值和参数：

先说不带引用的：因为只传址，参数可以看成对当前层的状态的描述，比如根据这些状态判断是否继续递归。

　　　　　　　　而返回值可以是作为上一层计算的结果，例如阶乘的那个例子。

另外，胡思乱想了一下，我们所处的世界大多都是两面相对的，阴阳，正负，对错，物质和反物质，那么有正向思维就有逆向思维。想想既然这些都是人的主观规定，

那么就可以少一点对逆向思维的“特殊”的感觉（毕竟只是你认为的普通思维的相对面），这样也解释了许多很难很难的算法用递归来写非常简单有效。可能是用递归这个从”反面“走的思维，来解决从“反面”来的问题更合适呢。（上边这些纯属是个人纯瞎想，没事别瞎看）。

以上

还有很多很多要总结的，以后遇到想到再慢慢来吧。