作为一个非理工科的经管学生，在数学基础有限的情况的，理解难免不足。文章多有copy。
参考博客：
https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
1.前言
为什么探讨L0,L1,L2范数，机器学习中出现的非常频繁的问题：过拟合与规则化。
机器学习的问题是“minimize your error while regularizing your parameters”。规则化参数的同时最小化误差。最小化误差是为了让模型拟合我们的训练数据，而规则化参数是防止我们的模型过分拟合我们的训练数据。
因为参数太多，会导致我们的模型复杂度上升，容易过拟合，也就是我们的训练误差会很小。但训练误差小并不是我们的最终目标，我们的目标是希望模型的测试误差小，也就是能准确的预测新的样本。
所以，我们需要保证模型“简单”的基础上最小化训练误差，这样得到的参数才具有好的泛化性能（也就是测试误差也小），而模型“简单”就是通过规则函数来实现的。另外，规则项的使用还可以约束我们的模型的特性。
这样就可以将人对这个模型的先验知识融入到模型的学习当中，强行地让学习到的模型具有人想要的特性，例如稀疏、低秩、平滑等等。
有时候人的先验是非常重要的，好的先验肯定能使机器更快的学习相应的任务。人和机器的交流目前还没有那么直接的方法，这个媒介只能由规则项来担当。
其他角度来看待规则化的。规则化符合奥卡姆剃刀(Occam's razor)原理。它的思想是：在所有可能选择的模型中，我们应该选择能够很好地解释已知数据并且十分简单的模型。
从贝叶斯估计的角度来看，规则化项对应于模型的先验概率。规则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项(regularizer)或惩罚项(penalty term)。
监督学习可以看做最小化下面的目标函数：
其中，第一项L(yi,f(xi;w)) 衡量我们的模型（分类或者回归）对第i个样本的预测值f(xi;w)和真实的标签yi之前的误差。
因为我们的模型是要拟合我们的训练样本的嘛，所以我们要求这一项最小，也就是要求我们的模型尽量的拟合我们的训练数据。
但正如上面说言，我们不仅要保证训练误差最小，我们更希望我们的模型测试误差小，所以我们需要加上第二项，也就是对参数w的规则化函数Ω(w)去约束我们的模型尽量的简单。
机器学习的大部分带参模型都和这个相似。其实大部分无非就是变换这两项而已。
对于第一项Loss函数，如果是Square loss，那就是最小二乘了；
如果是Hinge Loss，那就是著名的SVM了；
如果是exp-Loss，那就是 Boosting了；
如果是log-Loss，那就是Logistic Regression了；
还有等等。不同的loss函数，具有不同的拟合特性，这个也得就具体问题具体分析的。
但这里，我们先不究loss函数的问题，我们把目光转向“规则项Ω(w)”。
规则化函数Ω(w)也有很多种选择，一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，规则化值就越大。比如，规则化项可以是模型参数向量的范数。
然而，不同的选择对参数w的约束不同，取得的效果也不同，但我们在论文中常见的都聚集在：零范数、一范数、二范数、迹范数、Frobenius范数和核范数等等。
2.L0范数与L1范数
L0范数是指向量中非0的元素的个数。如果我们用L0范数来规则化一个参数矩阵W的话，就是希望W的大部分元素都是0，让参数W是稀疏的。
“压缩感知”和“稀疏编码”都用到了参数稀疏，“稀疏”就是通过这类范数实现的。但是是这样吗？看到大多数的papers中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗，更多用到的都是||W||1！
下面把L0和L1放在一起的原因，因为他们有着某种不寻常的关系。那我们再来看看L1范数是什么？它为什么可以实现稀疏？为什么大家都用L1范数去实现稀疏，而不是L0范数呢？
L1范数是指向量中各个元素绝对值之和，也有个美称叫“稀疏规则算子”（Lasso regularization）。
为什么L1范数会使权值稀疏？有人可能会这样给你回答“它是L0范数的最优凸近似”。
回答：任何的规则化算子，如果他在Wi=0的地方不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个规则化算子就可以实现稀疏。这说是这么说，W的L1范数是绝对值，|w|在w=0处是不可微，但这还是不够直观。
但不幸的是，L0范数的最优化问题是一个NP hard问题，而且理论上有证明，L1范数是L0范数的最优凸近似，因此通常使用L1范数来代替。
L1可以实现稀疏，但是为什么要稀疏？让我们的参数稀疏有什么好处呢？
为了：
1）特征选择(Feature Selection)：
选择稀疏规则一个关键原因在于它能实现特征的自动选择。一般来说，xi的大部分元素（也就是特征）都是和最终的输出yi没有关系或者不提供任何信息的，在最小化目标函数的时候考虑xi这些额外的特征，虽然可以获得更小的训练误差，但在预测新的样本时，这些没用的信息反而会被考虑，从而干扰了对正确yi的预测。稀疏规则化算子的引入就是为了完成特征自动选择的光荣使命，它会学习地去掉这些没有信息的特征，也就是把这些特征对应的权重置为0。
2）可解释性(Interpretability)：
另一个青睐于稀疏的理由是，模型更容易解释。例如患某种病的概率是y，然后我们收集到的数据x是1000维的，也就是我们需要寻找这1000种因素到底是怎么影响患上这种病的概率的。假设我们这个是个回归模型：y=w1*x1+w2*x2+…+w1000*x1000+b（当然了，为了让y限定在[0,1]的范围，一般还得加个Logistic函数）。通过学习，如果最后学习到的w*就只有很少的非零元素，例如只有5个非零的wi，那么我们就有理由相信，这些对应的特征在患病分析上面提供的信息是巨大的，决策性的。也就是说，患不患这种病只和这5个因素有关，那医生就好分析多了。但如果1000个wi都非0，医生面对这1000种因素，难以做出分析。
3.L2范数
除了L1范数，还有一种更受宠幸的规则化范数是L2范数: ||W||2。它也不逊于L1范数，它有两个美称，在回归里面，有人把有它的回归叫“岭回归”（Ridge Regression），有人也叫它“权值衰减weight decay”。
这用的很多吧，因为它的强大功效是改善机器学习里面一个非常重要的问题：过拟合。过拟合，就是模型训练时候的误差很小，但在测试的时候误差很大，也就是我们的模型复杂到可以拟合到我们的所有训练样本了，但在实际预测新的样本的时候，糟糕的一塌糊涂。
为什么L2范数可以防止过拟合？回答这个问题之前，我们得先看看L2范数是个什么东西。
L2范数是指向量各元素的平方和然后求平方根。我们让L2范数的规则项||W||2最小，可以使得W的每个元素都很小，都接近于0，但与L1范数不同，它不会让它等于0，而是接近于0，这里是有很大的区别的哦。而越小的参数说明模型越简单，越简单的模型则越不容易产生过拟合现象。为什么越小的参数说明模型越简单？我也不懂，我的理解是：限制了参数很小，实际上就限制了多项式某些分量的影响很小（看上面线性回归的模型的那个拟合的图），这样就相当于减少参数个数。
代码实现：
# 根据l2公式定义函数 def l2_normalize(v, axis=-1, order=2): l2 = np.linalg.norm(v, ord = order, axis=axis, keepdims=True) l2[l2==0] = 1 return v/l2 # 生成随机数据 Z = np.random.randint(10, size=(5,5)) print(Z) l2_normalize(Z)
L2范数的好处是什么呢？这里也扯上两点：
1）学习理论的角度：
从学习理论的角度来说，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力。
2）优化计算的角度：
从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理 condition number不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。这condition number是啥？这涉及到优化问题。优化有两大难题，一是：局部最小值，二是：ill-condition病态问题。前者是，我们要找的是全局最小值，如果局部最小值太多，那我们的优化算法就很容易陷入局部最小而不能自拔，ill-condition对应的是well-condition。那他们分别代表什么？假设我们有个方程组AX=b，我们需要求解X。如果A或者b稍微的改变，会使得X的解发生很大的改变，那么这个方程组系统就是ill-condition的，反之就是well-condition的。
左边：第一行假设是我们的AX=b，第二行我们稍微改变下b，得到的x和没改变前的差别很大，看到吧。第三行我们稍微改变下系数矩阵A，可以看到结果的变化也很大。换句话来说，这个系统的解对系数矩阵A或者b太敏感了。又因为一般我们的系数矩阵A和b是从实验数据里面估计得到的，所以它是存在误差的，如果我们的系统对这个误差是可以容忍的就还好，但系统对这个误差太敏感了，以至于我们的解的误差更大，那这个解就太不靠谱了。所以这个方程组系统就是ill-conditioned病态的，不正常的，不稳定的，有问题的。右边那个就叫well-condition。