欧拉函数入门

欧拉函数：小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示，φ(1)=1

计算公式：φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn)，其中x的所有素因子数分别为p1，p2，p3，...，pn.

常用性质：1.对于素数p，φ(p) = p-1， φ(p^k) = p^k-p^k-1

　　　　　2.当gcd(n,m) = 1时，φ(n*m) = φ(n) * φ(m).

暴力求一个数n的φ(n)模板

/* */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

//12==2*2*3;
int phi(int n)
{
    int m=sqrt(n)+0.5;
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);//即为ans*(1-1/i)
            while( n%i==0 ) n/=i;//去重
        }
    }
    if( n>1 ) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    printf("%d
", phi(t));
    return 0;
}

打表法：

/* */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int maxn=1000;
int phi[maxn+10];

void phi_init()
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<=maxn; i++ )
    {
        if( !phi[i] )
        {
            for(int j=i; j<=maxn; j+=i )
            {
                if( !phi[j] ) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    phi_init();
    for(int i=0; i<=10; i++ ) cout<<phi[i]<<" "<<endl;
    return 0;
}

例题：Mathematically Hard

 AC代码，由于数比较大记得用ull

/* */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
const int maxn=5000010;
typedef unsigned long long ull;
ull phi[maxn+10];

void phi_init()
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2; i<maxn; i++ )
    {
        if( !phi[i] )
        {
            for(int j=i; j<maxn; j+=i )
            {
                if( !phi[j] ) phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

void init()
{
    ull temp=0;
    int i;
    phi[0]=0;
    for(i=1; i<maxn; i++ )
    {
        temp += phi[i]*phi[i];
        phi[i]=temp;
    }
}

int main()
{
    int t, top=0, a, b;
    scanf("%d",&t);
    phi_init();
    init();
    while( t-- )
    {
        scanf("%d %d",&a,&b);
        printf("Case %d: %llu
", ++top, phi[b]-phi[a-1]);
    }
    return 0;
}