模拟退火

模拟退火

模拟退火时有三个参数，分别是初始温度T0​ 、降温系数Δ (delta)、终止温度 Tk​ 。

其中，T0​ 是一个比较大的数，Δ 是一个略小于 1 的正数，Tk​ 是一个略大于 0 的正数。

我们先让温度 T=T0​ ，然后每次降温时T=T⋅Δ ，直到 T≤Tk​ 为止。

我们探讨一下SA的玄学调参。

Q：答案不是最优的怎么办？

A：有以下几种方法：调大Δ (delta)、调大T0​ 、调小Tk​ ，以及多跑几遍SA。

当您的程序跑的比较快时，可以选择多跑几遍SA，或者调大 Δ ，从而增大得到最优解的概率。

调大T0​ 和调小Tk​ 也可以，而且时间并不会增大太多。

大致过程如下：

可以看出，随着温度的降低，解逐渐稳定下来，并逐渐集中在最优解附近。

如何生成新解

• 坐标系内：随机生成一个点，或者生成一个向量。
• 序列问题： random\_shufflerandom_shuffle 或者随机交换两个数。
• 网格问题：可以看做二维序列，每次交换两个格子即可。

P1337 [JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX

模板代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define delta 0.996 // 徐徐降温

using namespace std;

struct node {
    int x,y,w;
}object[2005];// 存物体的坐标和重量
int n;
double ansx,ansy,answ; // 最终答案

double energy( double x, double y ){//根据题意变化, 能量总和越小越稳定( 即越接近正确答案 )
    double r=0,dx,dy;
    for ( int i=1; i<=n; i++ ) {
        dx = x-object[i].x;
        dy = y-object[i].y;
        r += sqrt(dx*dx+dy*dy)*object[i].w;
    }
    return r;
}

void sa(){
    double t = 3000; // 温度足够高
    while ( t>1e-15 ) {
        double ex = ansx + (rand()*2-RAND_MAX)*t; // 随机产生新答案.
        double ey = ansy + (rand()*2-RAND_MAX)*t;
        double ew = energy(ex,ey);
        double de = ew - answ;
        if ( de<0 ) { // 新答案能量低，更稳定
            ansx = ex;
            ansy = ey;
            answ = ew;
        }
        else if ( exp(-de/t)*RAND_MAX>rand() ) { // 否则根据多项式概率接受
            ansx = ex;
            ansy = ey;
        }
        t *= delta;
    }
}

void solve() // 多跑几遍退火，增加得到最优解的概率
{
    sa();sa();sa();sa();
}

int main()
{
    cin >> n;
    for ( int i=1; i<=n; i++ ) {
        scanf("%d %d %d",&object[i].x,&object[i].y,&object[i].w);
        ansx += object[i].x;
        ansy += object[i].y;
    }
    ansx/=n; ansy/=n; // 以平均值作为初始答案
    answ = energy(ansx,ansy);
    solve();
    printf("%.3f %.3f
",ansx,ansy);

    return 0;
}