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  • 积性函数

    定义:

    (gcdleft ( x,y ight )=1),且 (fleft ( xy ight )=fleft ( x ight )fleft ( y ight )),则(fleft ( n ight ))为积性函数。

    若对任意的正整数(a,b)都有 (fleft ( ab ight )=fleft ( a ight )fleft ( b ight )),则称(f)是完全积性的。

    性质:

    1.若(fleft ( x ight ))和(gleft ( x ight ))均为积性函数,则下列函数

    也为积性函数:

    [hleft ( x ight )=fleft ( x^{p} ight )]

    [hleft ( x ight )=f^{p}left ( x ight )]

    [hleft ( x ight )=fleft ( x ight )gleft ( x ight )]

    [ hleft ( x ight )=sum_{d|x}fleft ( d ight )gleft ( frac{x}{d} ight )left ( d|x表示frac{x}{d}==0 ight )]

    2.若(f)是积性函数,且(n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}...p_{s}^{a_{s}})是n的标准分解,则有[fleft ( n ight )=fleft ( p_{1}^{a_{1}} ight )fleft ( p_{2}^{a_{2}} ight )fleft ( p_{3}^{a_{3}} ight )...fleft ( p_{s}^{a_{s}} ight )]

    因此研究积性函数(f)可以转化为研究(fleft ( p^{a} ight )),即(f)在素数和素数的幂上取值。

    例子说明:

    1.单位函数:(epsilon left ( n ight )=left [ n=1 ight ]left ( left [ condition ight ]表示当condition为真时取值为1,否则为0的函数 ight ))

          即:(epsilon left ( n ight )=1当n=1;epsilon left ( n ight )=0当n=0)

    2.常数函数:(1left ( n ight )=1)

    3.恒等函数:(id_{k}left ( n ight )=n^{k}id_{1}left ( n ight )left ( id_{k}表示一个集合k上的恒等函数 ight ))

          平常表示也就是(fleft ( x ight )=x)

    4.除数函数:(sigma _{k}left ( n ight ))用来表示(n)的因子的(k)次方之和

          (sigma _{k}left ( n ight )=sum_{d|n}d^{k})

          约数个数(sigma _{0}left ( n ight ))常记为(dleft ( n ight )),约数和(sigma _{1}left ( n ight ))常记为(sigmaleft ( n ight ))

    5.欧拉函数

    6.莫比乌斯函数

     

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