GMM与EM算法的Python实现
高斯混合模型(GMM)是一种常用的聚类模型，通常我们利用最大期望算法(EM)对高斯混合模型中的参数进行估计。
1. 高斯混合模型(Gaussian Mixture models, GMM)
高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一种软聚类模型。 GMM也可以看作是K-means的推广，因为GMM不仅是考虑到了数据分布的均值，也考虑到了协方差。和K-means一样，我们需要提前确定簇的个数。
GMM的基本假设为数据是由几个不同的高斯分布的随机变量组合而成。如下图，我们就是用三个二维高斯分布生成的数据集。
在高斯混合模型中，我们需要估计每一个高斯分布的均值与方差。从最大似然估计的角度来说，给定某个有n个样本的数据集X，假如已知GMM中一共有k 簇，我们就是要找到k组均值μ1,⋯,μk，k组方差σ1,⋯,σk 来最大化以下似然函数L
这里直接计算似然函数比较困难，于是我们引入隐变量(latent variable)，这里的隐变量就是每个样本属于每一簇的概率。假设W是一个n×k的矩阵，其中 Wi,j 是第 i 个样本属于第 j 簇的概率。
在已知W的情况下，我们就很容易计算似然函数LW，
将其写成
其中P(Xi | μj, σj) 是样本Xi在第j个高斯分布中的概率密度函数。
以一维高斯分布为例，
2. 最大期望算法(Expectation–Maximization, EM)
有了隐变量还不够，我们还需要一个算法来找到最佳的W，从而得到GMM的模型参数。EM算法就是这样一个算法。
简单说来，EM算法分两个步骤。
- 第一个步骤是E（期望），用来更新隐变量WW；
- 第二个步骤是M（最大化），用来更新GMM中各高斯分布的参量μj, σj。
然后重复进行以上两个步骤，直到达到迭代终止条件。
3. 具体步骤以及Python实现
完整代码在第4节。
首先，我们先引用一些我们需要用到的库和函数。
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 from matplotlib.patches import Ellipse 4 from scipy.stats import multivariate_normal 5 plt.style.use('seaborn')
接下来，我们生成2000条二维模拟数据，其中400个样本来自N(μ1,var1)，600个来自N(μ2,var2)，1000个样本来自N(μ3,var3)
1 # 第一簇的数据 2 num1, mu1, var1 = 400, [0.5, 0.5], [1, 3] 3 X1 = np.random.multivariate_normal(mu1, np.diag(var1), num1) 4 # 第二簇的数据 5 num2, mu2, var2 = 600, [5.5, 2.5], [2, 2] 6 X2 = np.random.multivariate_normal(mu2, np.diag(var2), num2) 7 # 第三簇的数据 8 num3, mu3, var3 = 1000, [1, 7], [6, 2] 9 X3 = np.random.multivariate_normal(mu3, np.diag(var3), num3) 10 # 合并在一起 11 X = np.vstack((X1, X2, X3))
数据如下图所示：
1 plt.figure(figsize=(10, 8)) 2 plt.axis([-10, 15, -5, 15]) 3 plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], s=5) 4 plt.scatter(X2[:, 0], X2[:, 1], s=5) 5 plt.scatter(X3[:, 0], X3[:, 1], s=5) 6 plt.show()
3.1 变量初始化
首先要对GMM模型参数以及隐变量进行初始化。通常可以用一些固定的值或者随机值。
n_clusters 是GMM模型中聚类的个数，和K-Means一样我们需要提前确定。这里通过观察可以看出是3。（拓展阅读：如何确定GMM中聚类的个数？）
n_points 是样本点的个数。
Mu 是每个高斯分布的均值。
Var 是每个高斯分布的方差，为了过程简便，我们这里假设协方差矩阵都是对角阵。
W 是上面提到的隐变量，也就是每个样本属于每一簇的概率，在初始时，我们可以认为每个样本属于某一簇的概率都是1/3。
Pi 是每一簇的比重，可以根据W求得，在初始时，Pi = [1/3, 1/3, 1/3]
1 n_clusters = 3 2 n_points = len(X) 3 Mu = [[0, -1], [6, 0], [0, 9]] 4 Var = [[1, 1], [1, 1], [1, 1]] 5 Pi = [1 / n_clusters] * 3 6 W = np.ones((n_points, n_clusters)) / n_clusters 7 Pi = W.sum(axis=0) / W.sum()
3.2 E步骤
E步骤中，我们的主要目的是更新W。第i个变量属于第m簇的概率为：
根据W，我们就可以更新每一簇的占比πm，
1 def update_W(X, Mu, Var, Pi): 2 n_points, n_clusters = len(X), len(Pi) 3 pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters))) 4 for i in range(n_clusters): 5 pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i])) 6 W = pdfs / pdfs.sum(axis=1).reshape(-1, 1) 7 return W 8 9 10 def update_Pi(W): 11 Pi = W.sum(axis=0) / W.sum() 12 return Pi
以下是计算对数似然函数的logLH以及用来可视化数据的plot_clusters。
1 def logLH(X, Pi, Mu, Var): 2 n_points, n_clusters = len(X), len(Pi) 3 pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters))) 4 for i in range(n_clusters): 5 pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i])) 6 return np.mean(np.log(pdfs.sum(axis=1))) 7 8 9 def plot_clusters(X, Mu, Var, Mu_true=None, Var_true=None): 10 colors = ['b', 'g', 'r'] 11 n_clusters = len(Mu) 12 plt.figure(figsize=(10, 8)) 13 plt.axis([-10, 15, -5, 15]) 14 plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=5) 15 ax = plt.gca() 16 for i in range(n_clusters): 17 plot_args = {'fc': 'None', 'lw': 2, 'edgecolor': colors[i], 'ls': ':'} 18 ellipse = Ellipse(Mu[i], 3 * Var[i][0], 3 * Var[i][1], **plot_args) 19 ax.add_patch(ellipse) 20 if (Mu_true is not None) & (Var_true is not None): 21 for i in range(n_clusters): 22 plot_args = {'fc': 'None', 'lw': 2, 'edgecolor': colors[i], 'alpha': 0.5} 23 ellipse = Ellipse(Mu_true[i], 3 * Var_true[i][0], 3 * Var_true[i][1], **plot_args) 24 ax.add_patch(ellipse) 25 plt.show()
3.2 M步骤
M步骤中，我们需要根据上面一步得到的W来更新均值Mu和方差Var。 Mu和Var是以W的权重的样本X的均值和方差。
因为这里的数据是二维的，第m簇的第k个分量的均值，
第m簇的第k个分量的方差，
以上迭代公式写成如下函数update_Mu和update_Var。
1 def update_Mu(X, W): 2 n_clusters = W.shape[1] 3 Mu = np.zeros((n_clusters, 2)) 4 for i in range(n_clusters): 5 Mu[i] = np.average(X, axis=0, weights=W[:, i]) 6 return Mu 7 8 def update_Var(X, Mu, W): 9 n_clusters = W.shape[1] 10 Var = np.zeros((n_clusters, 2)) 11 for i in range(n_clusters): 12 Var[i] = np.average((X - Mu[i]) ** 2, axis=0, weights=W[:, i]) 13 return Var
3.3 迭代求解
下面我们进行迭代求解。
图中实现是真实的高斯分布，虚线是我们估计出的高斯分布。可以看出，经过5次迭代之后，两者几乎完全重合。
1 loglh = [] 2 for i in range(5): 3 plot_clusters(X, Mu, Var, [mu1, mu2, mu3], [var1, var2, var3]) 4 loglh.append(logLH(X, Pi, Mu, Var)) 5 W = update_W(X, Mu, Var, Pi) 6 Pi = update_Pi(W) 7 Mu = update_Mu(X, W) 8 print('log-likehood:%.3f'%loglh[-1]) 9 Var = update_Var(X, Mu, W)
1 log-likehood:-8.054
1 log-likehood:-4.731
1 log-likehood:-4.729
1 log-likehood:-4.728
1 log-likehood:-4.728
4. 完整代码
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 from matplotlib.patches import Ellipse 4 from scipy.stats import multivariate_normal 5 plt.style.use('seaborn') 6 7 # 生成数据 8 def generate_X(true_Mu, true_Var): 9 # 第一簇的数据 10 num1, mu1, var1 = 400, true_Mu[0], true_Var[0] 11 X1 = np.random.multivariate_normal(mu1, np.diag(var1), num1) 12 # 第二簇的数据 13 num2, mu2, var2 = 600, true_Mu[1], true_Var[1] 14 X2 = np.random.multivariate_normal(mu2, np.diag(var2), num2) 15 # 第三簇的数据 16 num3, mu3, var3 = 1000, true_Mu[2], true_Var[2] 17 X3 = np.random.multivariate_normal(mu3, np.diag(var3), num3) 18 # 合并在一起 19 X = np.vstack((X1, X2, X3)) 20 # 显示数据 21 plt.figure(figsize=(10, 8)) 22 plt.axis([-10, 15, -5, 15]) 23 plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], s=5) 24 plt.scatter(X2[:, 0], X2[:, 1], s=5) 25 plt.scatter(X3[:, 0], X3[:, 1], s=5) 26 plt.show() 27 return X 28 29 30 # 更新W 31 def update_W(X, Mu, Var, Pi): 32 n_points, n_clusters = len(X), len(Pi) 33 pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters))) 34 for i in range(n_clusters): 35 pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i])) 36 W = pdfs / pdfs.sum(axis=1).reshape(-1, 1) 37 return W 38 39 40 # 更新pi 41 def update_Pi(W): 42 Pi = W.sum(axis=0) / W.sum() 43 return Pi 44 45 46 # 计算log似然函数 47 def logLH(X, Pi, Mu, Var): 48 n_points, n_clusters = len(X), len(Pi) 49 pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters))) 50 for i in range(n_clusters): 51 pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i])) 52 return np.mean(np.log(pdfs.sum(axis=1))) 53 54 55 # 画出聚类图像 56 def plot_clusters(X, Mu, Var, Mu_true=None, Var_true=None): 57 colors = ['b','g','r'] 58 n_clusters = len(Mu) 59 plt.figure(figsize=(10,8)) 60 plt.axis([-10,15,-5,15]) 61 plt.scatter(X[:,0], X[:,1], s=5) 62 ax = plt.gca()for i in range(n_clusters): 63 plot_args ={'fc':'None','lw':2,'edgecolor': colors[i],'ls':':'} 64 ellipse =Ellipse(Mu[i],3*Var[i][0],3*Var[i][1],**plot_args) 65 ax.add_patch(ellipse)if(Mu_trueisnotNone)&(Var_trueisnotNone):for i in range(n_clusters): 66 plot_args ={'fc':'None','lw':2,'edgecolor': colors[i],'alpha':0.5} 67 ellipse =Ellipse(Mu_true[i],3*Var_true[i][0],3*Var_true[i][1],**plot_args) 68 ax.add_patch(ellipse) 69 plt.show()# 更新Mudef update_Mu(X, W): 70 n_clusters = W.shape[1]Mu= np.zeros((n_clusters,2))for i in range(n_clusters):Mu[i]= np.average(X, axis=0, weights=W[:, i])returnMu# 更新Vardef update_Var(X,Mu, W): 71 n_clusters = W.shape[1]Var= np.zeros((n_clusters,2))for i in range(n_clusters):Var[i]= np.average((X -Mu[i])**2, axis=0, weights=W[:, i])returnVarif __name__ =='__main__':# 生成数据 72 true_Mu =[[0.5,0.5],[5.5,2.5],[1,7]] 73 true_Var =[[1,3],[2,2],[6,2]] 74 X = generate_X(true_Mu, true_Var)# 初始化 75 n_clusters =3 76 n_points = len(X)Mu=[[0,-1],[6,0],[0,9]]Var=[[1,1],[1,1],[1,1]]Pi=[1/ n_clusters]*3 77 W = np.ones((n_points, n_clusters))/ n_clusters 78 Pi= W.sum(axis=0)/ W.sum()# 迭代 79 loglh =[]for i in range(5): 80 plot_clusters(X,Mu,Var, true_Mu, true_Var) 81 loglh.append(logLH(X,Pi,Mu,Var)) 82 W = update_W(X,Mu,Var,Pi)Pi= update_Pi(W)Mu= update_Mu(X, W)print('log-likehood:%.3f'%loglh[-1])Var= update_Var(X,Mu, W)
本教程基于Python 3.6。
原创者：u_u | 修改校对：SofaSofa TeamM | 转自： http://sofasofa.io/tutorials/gmm_em/