Bellman-Ford算法

Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，

• 数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；
•  
  以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
  对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
  若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；
• 为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

伪代码如下：

BELLMAN-FORD(G, w, s)
1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2  for i ← 1 to |V[G]| - 1
3       do for each edge (u, v) ∈ E[G]
4              do RELAX(u, v, w)
5  for each edge (u, v) ∈ E[G]
6       do if d[v] > d[u] + w(u, v)
7             then return FALSE
8  return TRUE

补充:
考虑：为什么要循环V-1次？
答：因为最短路径肯定是个简单路径，不可能包含回路的，
如果包含回路，且回路的权值和为正的，那么去掉这个回路，可以得到更短的路径
如果回路的权值是负的，那么肯定没有解了

图有n个点，又不能有回路
所以最短路径最多n-1边

又因为每次循环，至少relax一边
所以最多n-1次就行了

以下是C++代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 99999;
 
// 边，
typedef struct Edge{
	int u, v;    // 起点，重点
	int weight;  // 边的权值
}Edge;
 
Edge edge[maxnum];     // 保存边的值
int  dist[maxnum];     // 结点到源点最小距离
 
int nodenum, edgenum, source;    // 结点数，边数，源点
 
// 初始化图
void init()
{
	// 输入结点数，边数，源点
	cin >> nodenum >> edgenum >> source;
	for(int i=1; i<=nodenum; ++i)
		dist[i] = maxint;
	dist[source] = 0;
	for(int i=1; i<=edgenum; ++i)
	{
		cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].weight;
		if(edge[i].u == source)          //注意这里设置初始情况
			dist[edge[i].v] = edge[i].weight;
	}
}
 
// 松弛计算
void relax(int u, int v, int weight)
{
	if(dist[v] > dist[u] + weight)
		dist[v] = dist[u] + weight;
}
 
bool Bellman_Ford()
{
	for(int i=1; i<=nodenum-1; ++i)
		for(int j=1; j<=edgenum; ++j)
			relax(edge[j].u, edge[j].v, edge[j].weight);
	bool flag = 1;
	// 判断是否有负环路
	for(int i=1; i<=edgenum; ++i)
		if(dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].weight)
		{
			flag = 0;
			break;
		}
	return flag;
}
int main()
{
	//freopen("input3.txt", "r", stdin);
    init();
	if(Bellman_Ford())
		for(int i = 1 ;i <= nodenum; i++)
			cout << dist[i] << endl;
	return 0;
}