组合算法：产生基本组合对象（Generating Elementary Combinatorial Objcts）

　　组合对象，算法课刚学的时候我也挺小看他的。之后在写算法，特别是蛮力法，的时候才发现他的重要性。

　　先说说他的用处。在算法问题中常遇到一些组合问题，如：

　　给你一个集合S = {2, 7, 36, 40, 53, 59, 62, 69, 77, 80, 87, 89, 95, 98, 100, 102, 103, 106, 112, 115}，要你从S中找出他的子集T，使得T中所有元素的和为220。

　　当然，这个问题不光可以用蛮力来解决。但如果用蛮力法的话，我们有没有最简便的方法，使得算法效率最高呢。这就要用到组合对象了。

　　组合对象X = {x_i}，我的理解，它是一个与集合S = {s_i}有相同元素个数的集合，并且X与S中的元素一一对应，X中的每个元素都只有两个值，a和b，且：x_i = a 时，s_i被选中；x_i = b 时，s_i没被选中。（大部分情况下我们默认a = 1，b = 0）

　　下图为组合对象的一个例子，其中T是全集S={1,2,3}的一个子集合，他是根据组合对象的取值决定的。

           

　　可以看到，如果我们能有个方法能够迭代的依次生成出所有的组合对象，那么对于全集S的不同子集合的选取将会方便很多。而且现在已经有了不少牛人的研究成果，用他们的算法绝对比我们自己做要省事，关键是效率很高。

　　以下介绍Lexicographic ordering和Gray codes，具体事例都以S为全集，T为子集，且|S| = |T| = 3。元素索引从左向右递增，首位索引为0。

　　Lexicographic ordering

　　{0,0,1}
　　{0,1,0}
　　{0,1,1}
　　{1,0,0}
　　{1,0,1}
　　{1,1,0}
　　{1,1,1}
　　{0,0,0}

　　算法思想：指针每次从右侧开始向左扫描：　　//以{0,0,1}为例

　　（1）每遇到1，则将其改为0，并继续往左扫描下一位，即指针指向下一位；　　//组合对象改为{0,0,0}，指针指向红色元素

 　　（2）若指针索引为-1，即遇到{1,1,1}这种情况，则算法结束；　　//若以{1,1,1}为例，此时组合对象为{0,0,0}，算法结束

　　（3）否则，将指针所指位改为1，并结束扫描；　　//接（1）中例子：此时指针所指元素改为1，即{0,1,0}，此为下一个组合对象

　　此时得到下一种组合对象

　　以下为代码，供参考：

public boolean[] next() {
	if(!hasNext) return null;    //组合对象生成完毕
	int index = n - 1;
	while(index >= 0 && set[index]){
		set[index] = false;
		index--;
	}
	if(index == -1){
		hasNext = false;
	}else{
		set[index] = true;
	}
	return set;
}

　　Gray codes

　　{0,0,0}
　　{0,0,1}
　　{0,1,1}
　　{0,1,0}
　　{1,1,0}
　　{1,1,1}
　　{1,0,1}
　　{1,0,0}

　　    

　　算法思想：如上图所示，组合对象的产生是遵循固定规律的，即沿着图中所绘图形的边框呈“之”字形变化：

　　（1）当沿着直线向上或向下时，仅将最右边一位做取反操作，即得下一个组合对象；

　　（2）当沿着直线向右时（向左可以类推）：

　　　　a.当在（1）中取反操作是0置1时，此时只要将右边第二位置反，即得下一个组合对象；

　　　　b.否则，从右向左扫描找到第一个1的索引 i ，若 i = 0，即 i 为最左边的索引，则不再有下一个组合对象，算法终止，否则将第 i - 1位置反，即得下一个组合对象；

　　代码如下，仅供参考：

//数组索引从0到n
public boolean[] next(){
	if(begin){	//如果是第一次调用begin=true，则返回{0,0,0,...,0}
		begin = false;
		return set;
	}
	if(!hasNext) return null;	//如果没有下一个组合对象 返回空
	if(turnFlag){	//为向下或向上移动
		if(!set[n]){
			set[n] = !set[n];	//0变1
			index = n - 1;
		}else{
			set[n] = !set[n];	//1变0
			index = n - 1;
			while(!set[index]) index--;	//如果当前位为0继续向左移
			if(index == 0){
				hasNext = false;	//此时为100...的情况 说明已经到最后了 没有next了
			}else{
				index--;	//此时为...100...情况 还有next
			}
		}
		turnFlag = false;
	}else{	//为向右移动
		set[index] = !set[index];
		turnFlag = true;
	}
	return set;
}