结构之美——优先队列基本结构（四）——二叉堆、d堆、左式堆、斜堆

实现优先队列结构主要是通过堆完成，主要有：二叉堆、d堆、左式堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆、pairing 堆等。

1. 二叉堆 

1.1. 定义

完全二叉树，根最小。

存储时使用层序。

1.2. 操作

(1). insert（上滤）

插入末尾 26，不断向上比较，大于26则交换位置，小于则停止。

(2). deleteMin（下滤）

提取末尾元素，放在堆顶，不断下滤：

(3). 其他操作：

都是基于insert（上滤）与deleteMin（下滤）的操作。

减小元素：减小节点的值，上滤调整堆。

增大元素：增加节点的值，下滤调整堆。

删除非顶点节点：直接删除会出问题。方法：减小元素的值到无穷小，上滤后删除。

Merge：insert one by one

2. d叉堆

2.1. 定义

完全d叉树，根最小。

存储时使用层序。

2.2. 操作:

操作跟二叉堆基本一致：insert,deleteMin,增大元素，减小元素，删除非顶元素，merge。

2.3 二叉堆与d叉堆的对比：

3. 左式堆

3.1. 定义

零路径长度：到没有两个儿子的节点最短距离

左式堆：

1.一棵二叉树

2.零路径长：左儿子≧右儿子，父节点= min{儿子} +1（这条性质导致了左式堆的严重左偏）

 

零路径长度：

 

 

3.2. 操作:

(1) merge :

原则:根值大的堆与根值小的堆的右子堆合并(根值：根位置的元素值，并非零路径长度)

 

 

具体分三种情况（设堆H1的根值小于H2）

H1只有一个节点

H1根无右孩子

H1根有右孩子

 

(1.1).H1只有一个节点，若出现不满足：零路径长：左儿子≧右儿子，交换左右孩子。

 

(1.2).H1根无右孩子，若出现不满足：零路径长：左儿子≧右儿子，交换左右孩子。

 

(1.3).H1根有右孩子

1.初始状态，H1的根6，H2的根为8，将H2合并到H1。

2.将H1构造成根无右孩子的形式：

3.将元素10, merge到H2，要首先将H2构造成根无右孩子的形式，递归，merge，若出现不满足：零路径长：左儿子≧右儿子，交换左右孩子……

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4.

5.

3.3. 性质分析:

insert：merge

deleteMin：delete root，merge

时间复杂度：merge与右路径长度之和成正比；最坏O(logN)

缺点：交换需判断；维护零路径长

4. 斜堆

4.1. 定义

二叉树，根最小。由此可见：

 

 

 

特点：merge无条件交换。

 

时间复杂度：最坏O(N)；最好Ω(1)；平均O(logN)

4.2性能比较：

定義

• 僅有一個節點的樹為斜堆；
• 兩個斜堆合併的結果仍為斜堆。

合併操作

斜堆合併操作的遞歸合併過程和左偏樹完全一樣。假設我們要合併 A 和 B兩個斜堆,且 A 的根節點比 B 的根節點小,我們只需要把 A 的根節點作為合併後新斜堆的根節點,並將 A 的右子樹與 B 合併。由於合併都是沿著最右路徑進行的,經過合併之後,新斜堆的最右路徑長度必然增加,這會影響下一次合併的效率。所以合併後，通過交換左右子樹,使整棵樹的最右路徑長度非常小（這是啟發規則）。然而斜堆不記錄節點的距離,在操作時,從下往上,沿著合併的路徑,在每個節點處都交換左右子樹。通過不斷交換左右子樹,斜堆把最右路徑甩向左邊了。

遞歸實現合併

• 比較兩個堆; 設p是具有更小的root的鍵值的堆，q是另一個堆，r是合併後的結果堆。
• 令r的root是p（具有最小root鍵值），r的右子樹為p的左子樹。
• 令r的左子樹為p的右子樹與q合併的結果。

舉例。合併前： 

合併後 

非遞歸合併實現

• 把每個堆的每棵（遞歸意義下）最右子樹切下來。這使得得到的每棵樹的右子樹均為空。
• 按root的鍵值的升序排列這些樹。
• 迭代合併具有最大root鍵值的兩棵樹：
  • 具有次大root鍵值的樹的右子樹必定為空。把其左子樹與右子樹交換。現在該樹的左子樹為空。
  • 具有最大root鍵值的樹作為具有次大root鍵值樹的左子樹。

舉例： 

5. 总结

如果是不支持所谓的合并操作union的话，普通的堆数据结构就是一种很理想的数据结构（堆排序）。 但是如果想要支持集合上的合并操作的话，最好是使用二项堆或者是斐波那契堆，普通的堆在union操作上最差的情况是O(n)，但是二项堆和斐波那契堆是O(lgn)。