leetcode 1879.两个数组最小的异或值之和 模拟退火 KM 状压dp

1879. 两个数组最小的异或值之和

给你两个整数数组 nums1 和 nums2 ，它们长度都为 n 。

两个数组的 异或值之和 为 (nums1[0] XOR nums2[0]) + (nums1[1] XOR nums2[1]) + ... + (nums1[n - 1] XOR nums2[n - 1]) （下标从 0 开始）。

• 比方说，[1,2,3] 和 [3,2,1] 的 异或值之和 等于 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) + (3 XOR 1) = 2 + 0 + 2 = 4 。

请你将 nums2 中的元素重新排列，使得 异或值之和 最小 。

请你返回重新排列之后的 异或值之和 。

示例 1：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [2,3]
输出：2
解释：将 nums2 重新排列得到 [3,2] 。
异或值之和为 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) = 2 + 0 = 2 。

示例 2：

输入：nums1 = [1,0,3], nums2 = [5,3,4]
输出：8
解释：将 nums2 重新排列得到 [5,4,3] 。
异或值之和为 (1 XOR 5) + (0 XOR 4) + (3 XOR 3) = 4 + 4 + 0 = 8 。

提示：

• n == nums1.length
• n == nums2.length
• 1 <= n <= 14
• 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 107

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首先是模拟退火，每次交换nums2中的两个位置的值进行模拟退火，最终将退火中计算得出的最小值作为答案。

class Solution {
public:
    int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums2.size();
        random_shuffle(nums2.begin(),nums2.end());
        int t = 0,dt = 0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            t += nums1[i] ^ nums2[i];
        int ans = t;
        for(double T = 1e6;T > 1e-18;T *= 0.999){
            int x = rand() % n,y = rand() % n;
            dt = - (nums1[x] ^ nums2[x]) - (nums1[y] ^ nums2[y]) + (nums1[x] ^ nums2[y]) + (nums1[y] ^ nums2[x]);
            ans = min(ans,t + dt);
            if(dt < 0){
                t += dt;
                swap(nums2[x],nums2[y]);
            }else if(exp(-1.0 * dt / T) * RAND_MAX > rand()){
                t += dt;
                swap(nums2[x],nums2[y]);
            }
        }
        return ans;
    }
};

其次是KM算法求二分图的最小权匹配，将nums1和nums2中的每个元素之间都建边，边值为两者异或结果的相反数，然后跑KM算法求二分图的最大权匹配即可。

class Solution {
public:
    vector<vector<int> > wei;
    int n;
    vector<int> visx, visy, linky, lx, ly;
    int xnum, ynum;
    int findPath(int now){
        visx[now] = 1;
        for(int i=0;i<ynum;i++){
            if(!visy[i] && lx[now] + ly[i] == wei[now][i]){
                visy[i] = 1;
                if(linky[i] == -1 || findPath(linky[i])){
                    linky[i] = now;
                    return 1;
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    int km(){
        linky = vector<int> (ynum,-1);
        ly = vector<int> (ynum,0);
        lx = vector<int> (xnum,-0x3f3f3f3f);
        for(int i=0;i<xnum;i++){
            for(int j=0;j<ynum;j++){
                lx[i] = max(lx[i],wei[i][j]);
            }
        }
        for(int i=0;i<xnum;i++){
            while(1){
                visx = vector<int> (xnum,0);
                visy = vector<int> (ynum,0);
                if(findPath(i))  break;
                int d = 0x3f3f3f3f ;
                for(int j=0;j<xnum;j++)
                    if(visx[j])
                        for(int k=0;k<ynum;k++)
                            if(!visy[k])
                                d = min(d,lx[j] + ly[k] - wei[j][k]);
                if(d == 0x3f3f3f3f) return -1;
                for(int j=0;j<xnum;j++)  if(visx[j])  lx[j] -= d;
                for(int j=0;j<ynum;j++) if(visy[j]) ly[j] += d;
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i=0;i<ynum;i++){
            if(linky[i] > -1) ans += -wei[linky[i]][i];
        }
        return ans;
    }
    int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        n = nums1.size();
        xnum = n,ynum = n;
        wei = vector<vector<int> > (n,vector<int> (n,0));
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<n;j++){
                wei[i][j] = - (nums1[i] ^ nums2[j]);
            }
        }
        return km();
    }
};

然后是官方正解，也就是状态压缩dp，官方解如下

class Solution {
public:
    int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size(),m = 1 << n;
        vector<int> f(m,INT_MAX);
        f[0] = 0;
        for(int mask=1;mask<m;mask++){
            for(int i=0;i<n;i++){
                if(mask & (1 << i)){
                    f[mask] = min(f[mask],f[mask ^ (1 << i)] + (nums1[ __builtin_popcount(mask) - 1] ^ nums2[i]));
                }
            }
        }
        return f[m - 1];
    }
};