随机变量的联合分布

1. 多项分布：每次试验都有r种可能结果，各自概率分别为p₁,p₂,...p_r，令X_i表示n次试验中第i个结果出现的次数，那么：

    P{X₁=n₁, X₂=n₂, ... X_r=n_r}=n!/(n₁!n₂!...n_r!)·p₁^n₁p₂^n₂...p_r^n_r

    解释：总试验次数为n，各种可能出现次数分别为n₁,...n_r，这可看作是一个分堆问题。

2. 联合随机变量独立的条件：

    对连续随机变量，F(a,b)=F_X(a)F_Y(b)    --OR--    f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

    对离散随机变量，p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)

    大体上可以这么理解：一个变量的取值不影响另一个变量的分布。

3. X+Y的分布函数F_X+Y(a)=∫_(-∞,+∞)F_X(a-y)f_Y(y)dy

    X+Y的概率密度f_X+Y(a)=∫_(-∞,+∞)f_X(a-y)f_Y(y)dy

    这个和一般意义上的卷积式子是一样的。

4. 如果X_i(i=1,...n)是服从参数为(μ_i, σ_i²)的正态分布的独立随机变量，那么∑Xi服从参数为∑μ_i和∑σ_i²的正态分布。

5. 如果独立随机变量X,Y服从参数为λ_X,λ_Y的泊松分布，那么X+Y服从参数为λ_X+λ_Y的泊松分布。

6. 若随机变量X,Y独立，那么条件概率密度等于边缘概率密度。

    解释：X,Y独立，所以Y不影响X的取值，有没有Y的条件无所谓。反之亦然。