[HNOI2011]XOR和路径 概率期望 高斯消元

题面

题解：因为异或不太好处理，，，因此按位来算，这样最后的答案就是每一位上的值乘对应的权值再求和。本着期望要倒退的原则，，，我们设$f[i]$表示从$i$到$n$，xor和为1的概率。
那么观察$xor$的规则：
1 xor 1 = 0
0 xor 1 = 1 ----> 当xor 1时，结果为1的概率 = 原本为0的概率
1 xor 0 = 1
0 xor 0 = 0 ----> 当xor 0时，结果为1的概率 = 原本为1的概率
因此我们有如下转移：
$$f[x] = frac{1}{d_{x}}(sum_{val = 0, (x, y) in E} f[y] + sum_{val = 1, (x, y) in E} (1 - f[y]))$$
$$d_{x} f[x] = sum_{val = 0, (x, y) in E} f[y] + sum_{val = 1, (x, y) in E} (1 - f[y])$$
$$d_{x} f[x] - sum_{val = 0, (x, y) in E} f[y] + sum_{val = 1, (x, y) in E} f[y] = sum_{val = 1, (x, y) in E} 1$$
于是我们可以发现我们一共有n个方程，n个元，于是高斯消元即可。注意$f[n] = 0$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 110
#define ac 31000
#define LL long long

const double eps = 1e-8;
int n, m, maxn;
double ans;
int d[AC], id[AC];
int Head[AC], Next[ac], date[ac], len[ac], tot;
double f[AC][AC];

inline int read()
{
    int x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

inline void add(int f, int w, int S)
{
    date[++ tot] = w, Next[tot] = Head[f], Head[f] = tot, len[tot] = S, ++ d[f];
    if(f != w) date[++ tot] = f, Next[tot] = Head[w], Head[w] = tot, len[tot] = S, ++ d[w];
}//如果是自环的话只能算一次

inline void upmax(int &a, int b){
    if(b > a) a = b;
}

void pre()
{
    n = read(), m = read(), id[1] = 1;
    for(R i = 1; i <= m; i ++) 
    {
        int a = read(), b = read(), c = read();
        add(a, b, c), upmax(maxn, c);
    }    
    for(R i = 2; i <= 31; i ++) id[i] = id[i - 1] << 1;
}

void check()
{
    printf("
");
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= n + 1; j ++) printf("%.2lf ", f[i][j]);
        printf("
");
    }
}

void gauss()
{
    //check();
    for(R i = 1, r = 1; i <= n; i ++, r = i)
    {
        for(R j = i; j <= n; j ++)
            if(fabs(f[j][i]) > eps) {r = j; break;}
        if(fabs(f[r][i]) < eps) return ;
        if(i != r) for(R j = 1; j <= n + 1; j ++) swap(f[i][j], f[r][j]);
        for(R j = i + 1; j <= n + 1; j ++) f[i][j] /= f[i][i];
        for(R j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(i == j) continue;//是continue不是break啊。。。。
            for(R k = i + 1; k <= n + 1; k ++) f[j][k] -= f[i][k] * f[j][i];
        }
    }
}

void build(int lim)
{
    memset(f, 0, sizeof(f));//先清空
    for(R i = 1; i < n; i ++)
    {
        f[i][i] = d[i];
        for(R j = Head[i]; j; j = Next[j])
        {
            int now = date[j];
            if(id[lim] & len[j]) ++ f[i][now], ++ f[i][n + 1];
            else -- f[i][now];//不能直接赋值，因为可能会涉及到自己，，于是本来就有系数，就是抵消一部分而不是覆盖全部了
        }
    }
    //for(R i = 1; i <= n + 1; i ++) f[n][i] = (i == n);//特判最后一个点
    f[n][n] = 1;
}

void work()
{
    LL tmp = 1;
    for(R i = 1; id[i] <= maxn; i ++)
    {
        build(i), gauss();
        ans += f[1][n + 1] * tmp, tmp <<= 1;
    //    printf("!!!%.3lf
", ans);
    }
    printf("%.3lf
", ans);
}

int main()
{
//    freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    work();    
//    fclose(stdin);
    return 0;
}