(Delta)以下内容主要为《线性代数》的学习笔记
按行列展开
一般来说，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简单得多，因此考虑用低阶行列式来表示高阶行列式。为此，我们引入余子式和代数余子式的概念。
相当于对行列式进行降阶处理以方便运算
定义
余子式：
在(n)阶行列式中，把((i, j))元(a_{ij})所在的第(i)行和第(j)列划去后(相当于用1代替)，留下来的(n - 1)阶行列式叫做((i, j))元的(a_{ij})的余子式，记做(M_{ij});
代数余子式：
记：
[A_{ij} = (-1)^{i + j}M_{ij}
]
则把(A_{ij})叫做((i, j))元(a_{ij})的代数余子式。
引理
一个(n)阶行列式，如果其中第(i)行所有元素除((i, j))元(a_{ij})外都为零，那么这行列式等于(a_{ij})与它的代数余子式的乘积，即：
[D = A_{ij}$$.
####定理2
>**行列式按行(列)展开法则：**行列式等于它任意行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：
$$ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}]
或
[D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ... + a_{nj}A_{nj}
]
推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即：
[a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = 0,quad i
e j
]
或
[a_{1i}A_{1i} + a_{2i}A_{2i} + ... + a_{ni}A_{ni} = 0,quad i
e j
]
综合定理2及其推论，可以得到有关代数余子式的重要性质：
[sum_{k = 1}^{n}a_{ki}A_{ki} = egin{cases} D, quad i = j\ 0, quad i e j end{cases}]
或
[sum_{k = 1}^{n}a_{ik}A_{ik} =
egin{cases}
D, quad i = j\
0, quad i
e j
end{cases}]