[ZJOI2005]沼泽鳄鱼 矩阵乘法

～～～题面～～～

题解：

　　乍一看还是挺懵逼的。和HH去散步很像，思路也是类似的。

　　复制一段我在HH去散步的题解里面写的一段话吧：

　　考虑f[i][j]表示i和j是否右边相连，有为1，否则为0，那么f同时可以表示从每个点出发走一步到其他点的方案数。

　　于是用一个和f长得一模一样的矩阵g来表示从每个点出发到其他点的方案数。

　　那么考虑g如何转移。

　　其实只要用g*f就可以表示一次转移了。

　　为什么？

　　设当前转移到了第t次，则g[i][j]表示i到j走t-1次的方案数（因为还没有更新）

　　那么矩阵乘法做了什么？

　　$g[i][j] = sum_{l = 1}^{n}{g[i][l] * f[l][i]}$

　　也就是它枚举了点i走了t - 1次到l,然后再从l走一次到j的方案数。

　　是否能转移则要看l 到 j是否有边，而f[l][j]的意义刚好就是这样。

　

　　但这题有一些特殊的限制，就是会有食人鱼周期性的游动。

　　这样的话，转移就不再是一成不变的了，而是每天都有不同的不能去的地方，这样的话直接矩阵加速就做不了了。

　　但是暴力做矩阵乘法还是对的，因为这里的矩阵乘法实际上就是做一次DP

　　那么如何解决这个问题呢？

　　观察到题目给的一个特殊性质：周期只有2,3,4三种。gcd(2, 3, 4) = 12.这意味着每过12天，每天可走的路线又会与12天前重复。

　　所以如果我们把12天缩成1天，那么每天可走的路就是固定的了。

　　因此我们预处理出这12天每天可以走的路线，然后暴力转移12次，把12天的矩阵都浓缩成1个，然后再做矩阵乘法即可。

　　因为我们已经把12天缩成1天了，因此我们要乘的次数也变为了12分之一。

　　然后剩下的不能被12整除的天数就在末尾暴力乘即可。

　　由于矩阵乘法没有交换律，因此在暴力乘的过程中要格外注意顺序问题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 52
#define mod 10000

int n, m, s, t, k, num;
int g[AC][AC], go[AC][AC];//g记录连边情况,go表示第i条鱼，j时刻在哪

struct matrix{
    int s[AC][AC];
}ans, f, p[15], box;

inline int read()
{
    int x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

matrix cal(matrix x, matrix y)
{
    for(R i = 1; i <= n; i ++)
        for(R j = 1; j <= n; j ++)
        {
            box.s[i][j] = 0;
            for(R l = 1; l <= n; l ++)
                box.s[i][j] = (box.s[i][j] + x.s[i][l] * y.s[l][j]) % mod; 
        }
    return box;
}

inline void pre()
{
    int a, b, T;
    n = read(), m = read(), s = read() + 1, t = read() + 1, k = read();
    for(R i = 1; i <= m; i ++)//读入桥
    {
        a = read() + 1, b = read() + 1;
        g[a][b] = g[b][a] = 1;
    }
    num = read();
    for(R i = 1; i <= num; i ++)//读入鱼
    {
        T = read();
        for(R j = 0; j < T; j ++) go[i][j] = read() + 1;
        for(R j = T; j < 12; j ++) go[i][j] = go[i][j - T];
    }
}

void qpow(int have)
{
    if(have <= 0) return ;
    while(have)
    {
        if(have & 1) ans = cal(ans, f);
        f = cal(f, f);
        have >>= 1;
    }
}

void work()
{
    for(R i = 0; i <= 11; i ++)//枚举时刻
    {
        for(R j = 1; j <= n; j ++)//枚举石墩
            for(R l = 1; l <= n; l ++) p[i].s[j][l] = g[j][l];
        for(R j = 1; j <= num; j ++)//枚举鱼
        {
            int x = go[j][i];//获取这条鱼在这个时刻在哪里
            for(R l = 1; l <= n; l ++) p[i].s[l][x] = 0;//枚举从哪个石墩来到x
        }
    }
    if(k <= 12)
    {
        ans = p[1];
        for(R i = 2; i <= min(k, 11); i ++) ans = cal(ans, p[i]);
        if(k == 12) ans = cal(ans, p[0]);
        printf("%d
", ans.s[s][t]);
        return ;
    }
    ans = p[1];
    for(R i = 2; i <= 11; i ++) ans = cal(ans, p[i]);
    ans = cal(ans, p[0]);
    f = ans;
    qpow(k / 12 - 1);//因为有一个1在ans那 
    int b = k % 12;
    for(R i = 1; i <= b; i ++) ans = cal(ans, p[i]); 
    printf("%d
", ans.s[s][t]);
}

int main()
{
//    freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    work();
//    fclose(stdin);
    return 0;
}