[51nod1503]猪和回文 DP

～～～题面～～～

题解：

　　首先观察到题目要求的是合法回文串的个数，而回文串要求从前往后和从后往前是一样的，因此我们假设有两只猪，分别从左上和右下开始走，走相同的步数最后相遇，那么它们走的路能拼在一起构成一个回文串，当且仅当它们走字符串是完全相同的。

　　那么我们可以根据这个性质进行DP，设f[i][j][k][l]表示第一只猪走到(i, j),第二只猪走到(k, l)的方案数。

　　那么观察到$i + j = k + l$,所以$l$是没必要记录的，因为前面三个确定，l就确定了，然后因为i从1 开始枚举，每次只能走一步，所以只会用到上一步的方案，所以可以滚动一下，这样时空复杂度就都可以承受了。

　　因为要限制两只猪走的步数一样，注意限制第一只猪在红色的三角形中，另一只猪在蓝色的三角形中。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 510
#define mod 1000000007
#define LL long long

int n, m;
LL f[2][AC][AC], ans;
char s[AC][AC];

void pre()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(R i = 1; i <= n; i ++) scanf("%s", s[i] + 1);
    if(s[1][1] != s[n][m]) {printf("0
"); exit(0);}
}

inline bool check(int i, int j, int k, int l)
{
    if(i == k && j == l) return true;
    else if(i + 1 == k && j == l) return true;
    else if(i == k && j + 1 == l) return true;
    return false;
}

void work()
{
    int l, now = 1, b = (n + m) / 2;
    f[1][1][n] = 1;
    for(R i = 1; i <= n; i ++, now ^= 1)
    {
        for(R j = 1; j + i - 1 <= b; j ++)
        {
            if(i == 1 && j == 1) continue;
            for(R k = n; k >= i; k --)
            {
                l = n + m + 2 - i - j - k;
                if(l < j || l > m) continue;
                if(s[i][j] != s[k][l])    continue;
                f[now][j][k] = f[now ^ 1][j][k] + f[now ^ 1][j][k + 1];
                f[now][j][k] += f[now][j - 1][k] + f[now][j - 1][k + 1];
                f[now][j][k] %= mod;
                if(check(i, j, k, l)) ans += f[now][j][k];
                if(ans > mod) ans -= mod;
            }
        }
        memset(f[now ^ 1], 0, sizeof(f[now ^ 1]));//因为有同层转移，所以要memset，而不能枚举到它的时候再重置
    }
    printf("%lld
", ans);
}

void work1()
{
    int l, now = 1, b = (n + m) / 2;
    f[1][1][n] = 1;
    for(R i = 1; i <= n; i ++, now ^= 1)
    {
        for(R j = 1; j + i - 1 <= b; j ++)
        {
            if(i == 1 && j == 1) continue;
            for(R k = n; k >= i; k --)
            {
                l = n + m + 2 - i - j - k;
                if(l < j || l > m) continue;
                if(s[i][j] != s[k][l])    continue;
                f[i][j][k] += f[i - 1][j][k] + f[i - 1][j][k + 1];
                f[i][j][k] += f[i][j - 1][k] + f[i][j - 1][k + 1];
                f[i][j][k] %= mod;
                if(check(i, j, k, l)) ans += f[i][j][k];
                if(ans > mod) ans -= mod;
            }
        }
    }
    printf("%lld
", ans);
}

int main()
{
//    freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    work();
//    fclose(stdin);
    return 0;
}